群环域
半群与含幺半群
半群
定义: 设有非空集合\(S\), \(*\)是定义在\(S\)上的二元代数运算, 若\(*\)运算满足结合律, 则称代数系统\(U={\langle}S, *{\rangle}\)为半群.
当\(S\)为有限集时, \(U={\langle}S, *{\rangle}\)称为有限半群.
当\(S\)为无限集时, \(U={\langle}S, *{\rangle}\)称为无限半群.
例如, \({\langle}N, +{\rangle}\), \({\langle}N, \times{\rangle}\), \({\langle}E_v, +{\rangle}\), \({\langle}E_v, \times{\rangle}\)等都是半群.
例: 在\(R^+\)中定义两个二元运算\(*\)和\(\div\):
\(a*b=a^b\), \(\div\)为普通除法.
由此得到两个代数系统\(U={\langle}R^+, *{\rangle}\)和\(V={\langle}R^+, \div{\rangle}\), 问它们是否是半群.
解: 对于\(2, 3, 4{\in}R^+\), 有 \[(2*3)*4 = 2^3*4 = (2^3)^4= 2^{12}\] \[2*(3*4) = 2*(3^4)=2*(81) =2^{81}\] 故\((2*3)*4{\neq}2*(3*4)\).
根据\(\div\)运算性质, 其不满足结合律.
于是\(*\)和\(\div\)运算都不满足结合律, 故\(U\)和\(V\)都不是半群.
例: 设集合\(S_k=\{x|x{\in}Z, 且x{\geq}k\}\), \(k{\geq}0\), 问\(S_k\)与+是否可以构成半群？其中\(+\)为普通的加法运算.
解:封闭性.任取\(x, y{\in}S_k\), 则:\(x{\in}Z\), \(y{\in}Z\), \(x{\geq}k\), \(y{\geq}k\). 所以\(x+y{\in}Z\), \(x+y{\geq}k\).
故\(+\)对\(S_k\)是封闭的, \({\langle}S_k, +{\rangle}\)是代数系统.
结合律. 因\(x+(y+z)=(x+y)+z\), 所以\(+\)满足结合律.
故\({\langle}S_k, +{\rangle}\)半群.
对于本例, 若去掉\(k{\geq}0\)这个条件, \({\langle}S_k, +{\rangle}\)还是半群吗？
例: 设集合\(S_k=\{x|x{\in}Z, 且x{\geq}k\}\), 问\(S_k\)与\(+\)是否可以构成半群？其中\(+\)为普通的加法运算.
如果\(k<0\), 不妨取\(k=-5\).
取\(S_k\)中两元素:\(-2, -4{\in}Z\), 显然\(-2, -4{\geq}k\), 但 \(-2+(-4)=-6<k\), 故\(-6{\notin}S_k\).
因此\(+\)对\(S_k\)不是封闭的, \({\langle}S_k, +{\rangle}\)不是代数系统, \({\langle}S_k, +{\rangle}\)也不是半群.
定理: 设\(U={\langle}S, *{\rangle}\)是一个半群, 非空集合\(X{\subseteq}S\), 若\(*\)运算在\(X\)上是封闭的, 则\(V={\langle}X, *{\rangle}\)也是一个半群.
这个定理说明, 当封闭性成立时, 结合律不会因为集合的缩小而改变.
定义: 若在半群\(U={\langle}S, *{\rangle}\)中\(*\)运算满足交换律, 则称\(U\)为可交换半群.
例如, \({\langle}N, +{\rangle}\)和\({\langle}N, {\times}{\rangle}\)都是可交换半群, 因为\(+\)运算和\({\times}\)运算都满足交换律.
含幺半群
定义: 含有幺元\(e\)的半群称为含幺半群或独异点.
例如, \(U={\langle}N, +{\rangle}\)和\(V={\langle}N, {\times}{\rangle}\)都是含幺半群, 0和1分别是\(U\)和\(V\)的幺元.
\({\langle}N^*, +{\rangle}\)虽然是半群, 但关于+运算不存在幺元, 所以\({\langle}N^*, +{\rangle}\)不是含幺半群.
\({\langle}E_v, {\times}{\rangle}\)也不是含幺半群, 因为在\(E_v\)中, \({\times}\)运算不存在幺元.
有时为了强调幺元\(e\), 常把含幺半群\({\langle}S, *{\rangle}\)表示成\({\langle}S, *, e{\rangle}\).
定义: 若含幺半群\(U={\langle}S, *{\rangle}\)中\(*\)运算满足交换律, 则称\(U\)为可交换含幺半群.
例如, \({\langle}Z, +{\rangle}\)是可交换含幺半群.
再如, 对于任意集合\(S\)的幂集\(P(S)\), 以及集合间的\({\cap}\), \({\cup}\)运算来说, \(U={\langle}P(S), {\cap}{\rangle}\)和\(V={\langle}P(S), {\cup}{\rangle}\)都是可交换的含幺半群, \(U\)的单位元是\(S\), \(V\)的单位元是\(\emptyset\).
例: 设\(R\)是实数集合, 定义\(*\)运算 \({\forall}a, b{\in}R\), \(a*b=a+b+ab\).
求证: \(*\)对于\(R\)可构成含幺半群.
证明: 封闭性. 任意的\(a, b{\in}R\): \(a*b=a+b+ab\), 因\(a+b+ab{\in}R\), 故\(a*b{\in}R\).
结合律. 任意的\(a, b, c{\in}R\), 则: \[(a*b)*c=(a+b+ab)*c\] \[=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c\] \[=a+b+c+ab+ac+bc+abc\]
\[a*(b*c)=a*(b+c+bc)\] \[=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)\] \[=a+b+c+ab+ac+bc+abc\] 故\((a*b)*c=a*(b*c)\).
单位元. 设\({\exists}e_l, e_r{\in}R\), 对\({\forall}a{\in}R\): \[e_l*a=e_l+a+e_la=a\] 得: \(e_l(a+1)=0\), 所以\(e_l=0\).
\[a*e_r=a+e_r+ae_r=a\] 得: \(e_r(a+1)=0\), 所以\(e_r=0\).
所以\(e_l=e_r=e=0\).
交换律. 任意的\(a, b{\in}R\): \[a*b=a+b+ab=b+a+ba=b*a\] 故\({\langle}R, *{\rangle}\)是可交换含幺半群.
定义: 设\(U={\langle}S, *{\rangle}\)是一个含幺半群. 若存在元素\(g{\in}S\), 使得\({\forall}a{\in}S\), \(a\)都可表示成\(g\)的方幂, 即\(a=g^n\)(\(n\)是自然数, 规定\(e=g^0\)), 则称\(U\)是循环含幺半群.
称\(g\)是\(U\)的一个生成元, \(U\)可记为\(U={\langle}{\langle}g{\rangle}, *{\rangle}\).
例如, 自然数集合\(N\)和通常的加法运算\(+\), \({\langle}N, +{\rangle}\)是循环含幺半群, \(e=0\)是单位元, 1是生成元.
\(1^0=0\), \(1^1=1\), \(1^2=1+1=2\), \({\cdots}\), \(1^n=1+1+{\cdots}+1+1=n\), \({\cdots}\)
可写为:\({\langle}N, +{\rangle}={\langle}{\langle}1{\rangle}, +{\rangle}\).
例: 设\(X=\{0, 60, 120, 180, 240, 300\}\), \({\oplus}\)是\(X\)上的二元运算, 对\({\forall}a, b{\in}X\), 有: \[a{\oplus}b=(a+b)\, mod\, 360\] 则代数系统\({\langle}X, {\oplus}{\rangle}\)是循环含幺半群.
证明: 因\({\langle}X, {\oplus}{\rangle}\)是代数系统, 故满足封闭性.
又因为模运算满足结合律, 即\({\forall}a, b, c{\in}X\), 有: \((a{\oplus}b){\oplus}c=a{\oplus}(b{\oplus}c)\), 所以\({\langle}X, {\oplus}{\rangle}\)是半群.
该半群有单位元0, 故\({\langle}X, {\oplus}{\rangle}\)是含幺半群.
有生成元\(g=60\), 因为: \[g^0=0, g^1=60, g^2=120, g^3=180, g^4=240, g^5=300, g^6=0,\] \[g^7=60, g^8=120, g^9=180, g^{10}=240, g^{11}=300, {\cdots},\] 故\({\langle}X, {\oplus}{\rangle}\)是循环含幺半群.
例: 设含幺半群\(U={\langle}S, *{\rangle}\), \(S=\{1, a, b, c, d\}\), \(*\)运算的定义如下:
从中可以看出, 1是幺元, \(c\)是生成元, 而且: \[c^0=e=1, c^1=c, c^2=b, c^3=a, c^4=d\] \[ \begin{array}{cccccc} * & 1 & a & b & c & d\\ 1 & 1 & a & b & c & d\\ a & a & a & b & d & d\\ b & b & b & d & a & a\\ c & c & d & a & b & b\\ d & d & d & a & b & b\\ \end{array} \]
定理: 循环含幺半群是可交换的含幺半群.
证明: 设\(U={\langle}S, *{\rangle}\)是一个循环含幺半群, 且\(G\)是它的生成元.
对于任意的\(a, b{\in}S\), 由生成元的定义, 存在\(m, n{\in}N\), 使得: \(a=g^m, b=g^n\)
于是有: \[a*b=g^m*g^n=g^{m+n}=g^{n+m}=g^n*g^m=b*a\] 所以, \(U\)是可交换的含幺半群.
子半群与子含幺半群
定义: 设\(U={\langle}S, *{\rangle}\)是一个半群, 非空子集\(X{\subseteq}S\), 若\(V={\langle}X, *{\rangle}\)也构成一个半群, 则称\(V\)是\(U\)的子半群.
例如, \({\langle}E_V, {\times}{\rangle}\)是\({\langle}Z, {\times}{\rangle}\)的子半群, \({\langle}Z, +{\rangle}\)是\({\langle}R, +{\rangle}\)的子半群.
给定一个半群\(U={\langle}S, *{\rangle}\)和非空集\(X{\subseteq}S\), 要验证\(V={\langle}X, *{\rangle}\)是否成为\(U\)的子半群, 这要求\(V\)是一个半群, 即\(*\)是\(X\)上的二元运算(满足封闭性)且满足结合律.
因\(*\)运算在\(S\)上满足结合律, 只要\(*\)在\(X\)上是封闭的, 结合律在\(X\)上一定成立.
因此, 若要证明\(V={\langle}X, *{\rangle}\)是\(U={\langle}S, *{\rangle}\)的子半群, 只要证明:
非空集\(X{\subseteq}S\).
\(*\)对\(X\)是封闭的.
例: \(U={\langle}Z, +{\rangle}\)是一个半群, 设: \(Z_E=\{x|x=2n, n{\in}Z\}\),
求证: \({\langle}Z_E, +{\rangle}\)是\({\langle}Z, +{\rangle}\)的子半群.
证明: 显然\(Z_E\)是\(Z\)的非空子集.
设\({\forall}x, y{\in}Z_E\), 不妨设\(x=2n\), \(y=2m\), 有\(n, m{\in}Z\), 则\(n+m{\in}Z\), 而\(x+y=2n+2m=2(n+m){\in}Z_E\), 封闭性成立, 故\({\langle}Z_E, +{\rangle}\)是半群.
所以\({\langle}Z_E, +{\rangle}\)是\({\langle}Z, +{\rangle}\)的子半群.
定义: 设\(U={\langle}S, *, e{\rangle}\)是含幺半群, 非空子集\(X{\subseteq}S\), 若\(V={\langle}X, *, e{\rangle}\)也构成含幺半群, 则称\(V\)是\(U\)的子含幺半群.
这里特别强调的是, \(V\)的单位元必须和\(U\)的单位元一致.否则, 即使\(V\)能构成一个含幺半群, 也不是\(U\)的子含幺半群.
例如, 对于实数集合\(R\)、整数集合\(Z\)、自然数集 合\(N\)和普通的加法运算\(+\)来说, \({\langle}R, +{\rangle}\)是一个含幺半群, 0是单位元, \({\langle}Z, +{\rangle}\)和\({\langle}N, +{\rangle}\)都是\({\langle}R, +{\rangle}\)的子含幺半群.
例: 设\({\langle}Z, +{\rangle}\)是一个含幺半群, 设: \[Z_E=\{x|x=2n, \, n{\in}Z\}, \] 求证: \({\langle}Z_E, +{\rangle}\)是\({\langle}Z, +{\rangle}\)的子含幺半群.
证明: 前已经证明\({\langle}Z_E, +{\rangle}\)是\({\langle}Z, +{\rangle}\)的子半群.
现证明\({\langle}Z_E, +{\rangle}\)存在单位元, 且与\({\langle}Z, +{\rangle}\)的单位元相同. \({\langle}Z, +{\rangle}\)的单位元为0.
显然\(0{\in}Z_E\), 对\({\forall}x{\in}Z_E\), 设\(x=2n\), 有:
\(x+0=2n+0=2n=x\),
\(0+x=0+2n=2n=x\),
故0是\({\langle}Z_E, +{\rangle}\)的单位元, 所以\({\langle}Z_E, +{\rangle}\)是含幺半群.
因此\({\langle}Z_E, +{\rangle}\)\(是{\langle}Z, +{\rangle}\)的子含幺半群.
例: 设集合\(S=\{e, 0, 1\}\), \(*\)运算的定义如下:
\[ \begin{array}{cccc} * & e & 0 & 1\\ e & e & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1\\ \end{array} \]
\(U={\langle}S, *{\rangle}\)是一个含幺半群, 单位元为\(e\).
设集合\(X=\{0, 1\}\), \(*\)运算的定义如下:
\[ \begin{array}{ccc} * & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \]
\(V={\langle}X, *{\rangle}\)也是一个含幺半群, 单位元为1.
\(X{\subseteq}S\)且非空, 但\(V\)不是\(U\)的子含幺半群. 因为两个含幺半群的单位元不同.
例: 设\(V={\langle}S, *{\rangle}\)为含幺半群, \(e\)是幺元, 则\({\langle}\{e\}, *{\rangle}\)是\(V\)的一个子含幺半群;\(V\)本身也是\(V\)的一个子含幺半群. 这两个子含幺半群称为平凡子含幺半群.
定理: 设\(U={\langle}S, *{\rangle}\)是一个可交换的含幺半群, \(X\)是\(S\)中全体幂等元的集合, 则\(V={\langle}X, *{\rangle}\)是\(U\)的子含幺半群.
同态与同构
定义: 设\(U={\langle}R, *{\rangle}\)和\(V={\langle}S, +{\rangle}\)都是半群, 映射\(f:R{\rightarrow}S\), 若对于任意的\(a, b{\in}R\), 有: \[f(a*b)=f(a)+f(b)\] 则称\(f\)为从\(U\)到\(V\)的半群同态, 且:
若\(f\)是满射的, 称\(f\)为从\(U\)到\(V\)的半群满同态.
若\(f\)是单射的, 称\(f\)为从\(U\)到\(V\)的半群单同态.
若\(f\)是双射的, 称\(f\)为从\(U\)到\(V\)的半群同构.
定理: 设\(U={\langle}X, *{\rangle}\)和\(V={\langle}S, +{\rangle}\)都是半群, \(f\)是从\(U\)到\(V\)的半群同态. 对于任意的\(a{\in}X\), 若\(a\)是\(U\)中的幂等元, 则\(f(a)\)是\(V\)中的幂等元.
证明: 因为\(a{\in}X\), 故\(f(a){\in}S\).
由于\(a\)是\(U\)中的幂等元, \(f\)是从\(U\)到\(V\)的半群同态, 于是有: \[f(a)=f(a^2)=f(a*a)=f(a)+f(a)=f^2(a)\] 这说明\(f(a)\)是\(V\)中关于\(+\)运算的幂等元.
定义: 设\(U={\langle}S, *, e_*{\rangle}\), \(V={\langle}X, +, e_+{\rangle}\)都是含幺半群, 又设\(f:S{\rightarrow}X\)是从\(U\)到\(V\)的映射, 若对于任意的\(a, b{\in}S\), 有:
\(f(a*b)=f(a)+f(b)\)
\(f(e_*)=e_+\)
则称\(f\)是含幺半群同态. 且:
若\(f\)是满射的, 则称\(f\)为从\(U\)到\(V\)的含幺半群满同态.
若\(f\)是单射的, 则称\(f\)为从\(U\)到\(V\)的含幺半群单同态.
若\(f\)是双射的, 则称\(f\)为从\(U\)到\(V\)的含幺半群同构.
例: 给定两个含幺半群\(U={\langle}R, +, 0{\rangle}\)和\(V={\langle}R^+, {\times}, 1{\rangle}\).
定义\(f:R{\rightarrow}R^+\)如下: 对任意的\(x{\in}R\), \[f(x)=5^x\]
求证: \(f\)是\(U\)到\(V\)的含幺半群单同态.
证明: 对于任意的\(x, y{\in}R\), 有 \[f(x+y)=5^{x+y}=5^x{\times}5^y=f(x){\times}f(y)\] \[f(0)=5^0=1\] \(f\)是从\(U\)到\(V\)的同态映射.
又\(f\)是R上的严格单调增函数, 故\(f\)是单射的.
因此: \(f\)是从\(U\)到\(V\)的含幺半群单同态映射.
例: 给定两个含幺半群\(U={\langle}N, +, 0{\rangle}\)和\(V={\langle}S, *, e{\rangle}\), \(N\)是自然数集合, \(S=\{e, 0, 1\}\), \(+\)是普通加法运算, \(*\)运算的定义如下:
\[ \begin{array}{cccc} * & e & 0 & 1\\ e & e & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1\\ \end{array} \]
定义映射\(f:N{\rightarrow}S\), 对于任意的\(m{\in}N\):
\[ f(m)=\begin{cases}0&当m{\neq}0\\1&当m=0\end{cases} \]
问\(f\)是否是含幺半群同态？
解: 对于任意的\(a, b{\in}N\),
(1)\(a{\neq}0或b{\neq}0\), 有:
\(f(a+b)=0, \, f(a)*f(b)=0\),
故:\(f(a+b)=f(a)*f(b)\).
(2)\(a=0, b=0\), 有:
\(f(a+b)=1, \, f(a)*f(b)=1*1=1\),
故:\(f(a+b)=f(a)*f(b)\).
因此, \(f\)是从\(U\)到\(V\)的半群同态, 但由于
\(f(0)=1{\neq}e\)
所以, \(f\)不是\(U={\langle}N, +, 0{\rangle}\)到\(V={\langle}S, *, e{\rangle}\)含幺半群同态.
定理: 设\(f\)是从代数系统\(U={\langle}S, +{\rangle}\)到代数系统\(V={\langle}X, *{\rangle}\)的满同态映射, 其中, \(*\)和\(+\)都是二元运算, 则:
若\(U\)是半群, 则\(V\)也是半群.
若\(U\)是含幺半群, 则\(V\)也是含幺半群.
定理: 设\(U={\langle}R, *{\rangle}\), \(V={\langle}S, {\otimes}{\rangle}\)和\(W={\langle}T, {\oplus}{\rangle}\)都是半群, 且函数\(f:R{\rightarrow}S\), \(g:S{\rightarrow}T\)分别是从\(U\)到\(V\)和从\(V\)到\(W\)的半群同态, 则\(f{\cdot}g\)是一个从\(U\)到\(W\)的半群同态.
证明: 对于任意的\(a, b{\in}R\), 有:
\[(f{\cdot}g)(a*b)=g(f(a*b))\]
\[=g(f(a){\otimes}f(b))\]
\[=g(f(a)){\oplus}g(f(b))\]
\[=(f{\cdot}g)(a){\oplus}(g{\cdot}f)(b)\] 所以, \(f{\cdot}g\)是从\(U\)到\(W\)的半群同态.
群与子群
群
定义: 给定代数系统\(U={\langle}S, *{\rangle}\), \(S\)是非空集合, \(*\)是定义在\(S\)上的二元运算, 若:
(1)\(*\)运算是可结合的;
(2)存在幺元\(e\);
(3)每个元素都可逆.
则称\(U\)是一个群.
定义: 设\(U={\langle}S, *{\rangle}\)是一个含幺半群, 若\(S\)中的每个元素都可逆, 则称\(U\)是一个群.
对于群\(U={\langle}S, *{\rangle}\), 为简化描述, 可直接用集合\(S\)表示, 即群\(S\).
例: 代数系统\(U={\langle}R^*, {\times}{\rangle}\)是群, 其中\(R^*\)是非0实数集合, \({\times}\)是数的乘法运算.
证明: (1)结合律. \({\forall}a, b, c{\in}R^*\), \[a{\times}(b{\times}c)=(a{\times}b){\times}c\] 满足结合律.
(2)单位元.\(e=1\).
(3)逆元. 对\({\forall}a{\in}R^*\), \(a^{-1}=1/a\),
\(a{\times}1/a=1/a{\times}a=1\)
因此, \(U\)是一个群.
定理: 群中不存在零元.
定理: 幺元是群中唯一的一个幂等元.
定理: 设\(U={\langle}S, *{\rangle}\)是一个群, 则对于任意\(的a, b{\in}S\), 有:
存在唯一的一个元素\(x{\in}S\), 使得\(a*x=b\).
存在唯一的一个元素\(y{\in}S\), 使得\(y*a=b\).
定理: 设\(U={\langle}S, *{\rangle}\)是一个群, 则对\({\forall}a, b{\in}S\), 有\((a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}\).
证明:
\((a*b)*(b^{-1}*a^{-1})\)
\(=a*(b*b^{-1})*a^{-1}\)
\(=a*e*a^{-1}\)
\(=a*a^{-1}=e\)
\((b^{-1}*a^{-1})*(a*b)\)
\(=b^{-1}*(a^{-1}*a)*b\)
\(=b^{-1}*e*b\)
\(=b^{-1}*b=e\)
这说明\(a*b\)的逆元是\(b^{-1}*a^{-1}\), 所以:
\[(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}.\]
定理: 设\(U={\langle}S, *{\rangle}\)是一个群, 对于\({\forall}a, b, c{\in}S\),
若\(a*c=b*c\), 则\(a=b\).
若\(c*a=c*b\), 则\(a=b\).
即群中的运算满足消去律.
定义: 设\(U={\langle}S, *{\rangle}\)是一个群. 若
\(S\)为有限集合, 则称\(U\)为有限群. 若\(|S|=n\), 则称\(U\)为n阶群. 并用\(|U|\)表示\(U\)的阶.
\(S\)为无限集合, 则称\(U\)为无限群.
例: \({\langle}Z, +{\rangle}\)是无限群.
例: \({\langle}N_k, +_k{\rangle}\)是有限群(\(k\)阶群). 其中: \[N_k=\{0, 1, 2, {\cdots}, k-1\}\] \(+_k\)是模\(k\)加运算.
例: \({\langle}\{e, a\}, *{\rangle}\)是二阶群.
其中定义为:
\[ \begin{array}{ccc} * & e & a \\ e & e & a \\ a & a & e \\ \end{array} \]
定义: 设\(a\)是群\({\langle}S, *{\rangle}\)中的一个元素,
若存在正整数\(n\), 使得\(a^n=e\), 则称满足\(a^n=e\)的最小正整数为元素\(a\)的周期(阶), 并称元素\(a\)的周期是有限的(\(a\)是有限阶元素), \(a\)的阶记为\(|a|\).
若不存在这样的正整数\(n\), 则称元素\(a\)的周期是无限的.
定理: 设\(U={\langle}S, *{\rangle}\)是一个群, \(a{\in}S\)是\(n\)阶元素, \(k\)是一个整数, 则:
(1)\(a^k=e\)当且仅当\(k\)为\(n\)的整倍数;
(2)\(a^{-1}\)的周期与\(a\)的周期相同;
(3)若\(U\)是有限群, 则任一元素的阶都小于等于\(|S|\).
例: 设\(G={\langle}K_4, *{\rangle}\)为群, \(K_4=\{a, b, c, d\}\), \(*\)运算定义如下:
\[ \begin{array}{ccccc} * & a & b & c & d\\ a & a & b & c & d\\ b & b & a & d & c\\ c & c & d & a & b\\ d & d & c & b & a\\ \end{array} \]
求:
各元素的阶;
\(|G|\).
解:
单位元\(e=a\).
\(a^1=a\), \(b^2=a\), \(c^2=a\), \(d^2=a\)
所以, 每个非单位元的阶都是2.
\[|G|=4.\]
子群
定义: 设\(U={\langle}G, *{\rangle}\)是一个群, 非空子集\(S{\subseteq}G\), 如果\(V={\langle}S, *{\rangle}\)也构成群, 则称\(V\)是\(U\)的子群;若\(S\)是\(G\)的真子集, 则称\(V\)是\(U\)的真子群;若\(S=\{e\}\)或\(S=G\), 则称\(V\)是\(U\)的平凡子群.
定理: 设\(U={\langle}G, *{\rangle}\)是一个群, 非空子集\(S{\subseteq}G\), \(V={\langle}S, *{\rangle}\)是\(U\)的子群的充要条件是:
\({\forall}a, b{\in}S\), 有\(a*b{\in}S\).
\(V\)中有单位元.
\({\forall}a{\in}S\), \(a\)有逆元\(a^{-1}{\in}S\).
例如, 群\({\langle}Z, +{\rangle}\)是群\({\langle}R, +{\rangle}\)的子群.
设\({\langle}Z, +{\rangle}\)是群, \(Z_E=\{x|x=2n, n{\in}Z\}\). 求证: \({\langle}Z_E, +{\rangle}\)是\({\langle}Z, +{\rangle}\)的子群.
证明: 显然非空子集\(Z_E{\subseteq}Z\).
(1)\({\forall}x, y{\in}Z_E\), 设\(x=2n\), \(y=2m\), 则\(n, m{\in}Z\), \(n+m{\in}Z\). \(x+y=2n+2m=2(n+m){\in}Z_E\), 满足封闭性.
(2)单位元为0.因为\({\forall}x{\in}Z_E\), 设\(x=2n\), \(0+2n=2n+0=2n\).
(3)\({\forall}x{\in}Z_E\), 设\(x=2n\), 则\(n{\in}Z\).
而\(-x=-2n=2(-n)\), 因为\(-n{\in}Z\), 所以\(2(-n){\in}Z_E\), 即:\(-x{\in}Z_E\).
而\(x+(-x)=(-x)+x=0\). 故\(x\)的逆元是\(-x\), 即每一个元素均有逆元.
所以\({\langle}Z_E, +{\rangle}\)\(是{\langle}Z, +{\rangle}\)的子群.
定理: 子群的单位元就是群的单位元.
证明: 设\({\langle}S, *{\rangle}\)\(是{\langle}G, *{\rangle}\)的任一子群, \(e_1\)和\(e\)分别是\(S\)和\(G\)的单位元, 则对于任意的\(x{\in}S{\subseteq}G\), 有
\[e_1*x=x,\,\, e*x=x\] 故: \(e_1*x=e*x\)
由消去律, 得: \(e_1=e\).
定理: 设\(U={\langle}G, *{\rangle}\)是一个群, 非空子集\(S{\subseteq}G\), 则\(V={\langle}S, *{\rangle}\)是\(U\)的子群的充分必要条件是:对于任意的\(a, b{\in}S\), 有\(a*b^{-1}{\in}S\).
若\(U_1={\langle}S_1, *{\rangle}\), \(U_2={\langle}S_2, *{\rangle}\)都是\(U={\langle}S, *{\rangle}\)的子群, 则\(U_3={\langle}S_1{\cap}S_2, *{\rangle}\)也是\(U\)的子群.
证明: 设\(U\)的单位元为\(e\), 则\(e{\in}S_1\), \(e{\in}S_2\), 故\(e{\in}S_1{\cap}S_2\), 所以, \(S_1{\cap}S_2\)是\(S\)的非空子集.
对于任意的\(a, b{\in}S_1{\cap}S_2\), 则\(a, b{\in}S_1\), \(a, b{\in}S_2\), 因\(U_1\)是\(U\)的子群, 故\(a*b^{-1}{\in}S_1\).
\(U_2\)是\(U\)的子群, 故:\(a*b^{-1}{\in}S_2\). 于是, \(a*b^{-1}{\in}S_1{\cap}S_2\).故\(U_3\)是\(U\)的子群.
定理: 设\(U={\langle}G, *{\rangle}\)是一个群, \(S\)是\(G\)的非空子集. 如果\(S\)是一个有限集, 则\(V={\langle}S, *{\rangle}\)是\(U\)的子群的充要条件是: \({\forall}a, b{\in}S\), 都有\(a*b{\in}S\).
特殊群
交换群
定义: 设群\(U={\langle}S, *{\rangle}\)中, \(*\)运算满足交换律, 则称\(U\)是交换群(Abel群, 阿贝尔群). 否则, 称\(U\)为非交换群.
例: \({\langle}R, +{\rangle}\), \({\langle}Z, +{\rangle}\), \({\langle}R-\{0\}, {\times}{\rangle}\)和\({\langle}Q-\{0\}, {\times}{\rangle}\)都是交换群. 其中\(Q\), \(R\)和\(Z\)分别是有理数、实数和整数集合, \(+\)和\({\times}\)分别是通常的加法和乘法运算.
例: 设\(G\)为所有\(n\)阶非奇异矩阵的集合, 矩阵乘法运算“\({\cdot}\)”作为定义在集合\(G\)上的二元运算.
求证: 代数系统\({\langle}G, {\cdot}{\rangle}\)是一个非交换群.
证明:
\({\forall}A, B, C{\in}G\), 有:\(A{\cdot}(B{\cdot}C)=(A{\cdot}B){\cdot}C\), 故是可结合的.
\({\langle}G, {\cdot}{\rangle}\)的单位元是单位阵\(E\). 因为对\({\forall}A{\in}G\), 有 \(E{\cdot}A=A{\cdot}E=A\).
对\({\forall}A{\in}G\), \(A\)存在唯一的逆元, 即\(A\)的逆矩阵\(A^{-1}\), 因为:
\(A^{-1}{\cdot}A=A{\cdot}A^{-1}=E.\)
故\({\langle}G, {\cdot}{\rangle}\)是群. 但是, 对\({\forall}A, B{\in}G\), \(A{\cdot}B{\neq}B{\cdot}A\), 故\({\langle}G, {\cdot}{\rangle}\)是一个非交换群.
例: 设\(G={\langle}K_4, *{\rangle}\)为群, \(K_4=\{a, b, c, d\}\), \(*\)运算定义如下.
\[ \begin{array}{ccccc} * & a & b & c & d\\ a & a & b & c & d\\ b & b & a & d & c\\ c & c & d & a & b\\ d & d & c & b & a\\ \end{array} \]
求证: \({\langle}K_4, *{\rangle}\)是交换群.
证明: \(G\)由运算表可见, 运算表是对称表, 所以\(*\)运算满足交换律, 故\({\langle}K_4, *{\rangle}\)是交换群.
定理: 设\(U={\langle}S, *{\rangle}\)是一个群, 则\(U\)是交换群的充分必要条件是:对于任意的\(a, b{\in}S\), 有: \((a*b)^2=a^2*b^2\).
证明: 充分性. 对于任意的\(a, b{\in}S\), 有: \((a*b)^2 = a^2*b^2\), 即:
\((a*b)*(a*b) = (a*a)*(b*b)\).
而\(a*(b*a)*b=(a*b)*(a*b)\)
\(=(a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b\).
由消去得: \(b*a=a*b\), 因此\(U\)是交换群.
必要性. 因\(U\)是交换群, 故对于任意的\(a, b{\in}S\), 有: \[a*b=b*a\]
于是 \[(a*b)^2=(a*b)*(a*b)\] \[=a*(b*a)*b\] \[=a*(a*b)*b\] \[=(a*a)*(b*b)\] \[=a^2*b^2\] 得证.
循环群
定义: 设\(U={\langle}S, *{\rangle}\)是一个群, 若\(S\)中存在一个元素\(g\), 使得\(S\)中任何一个元素都能表示成\(g\)的幂, 即\(S=\{g^n|n{\in}Z\}\), 则称\(U\)是一个循环群.
并称\(g\)是\(U\)的生成元, 这时的\(U\)可以表示成\(U={\langle}{\langle}g{\rangle}, *{\rangle}\).
例: 设\(X=\{0, 60, 120, 180, 240, 300\}\), \({\oplus}\)是\(X\)上的二元运算, 对\({\forall}a, b{\in}X\), 有: \[a{\oplus}b=(a+b)\, mod\, 360\] 则代数系统\({\langle}X, {\oplus}{\rangle}\)是循环群.
证明: (1)模运算满足结合律, 即\({\forall}a, b, c{\in}X\), 有: \((a{\oplus}b){\oplus}c=a{\oplus}(b{\oplus}c)\). 所以\({\langle}X, {\oplus}{\rangle}\)是半群.
(2)单位元为0, 故\({\langle}X, {\oplus}{\rangle}\)是含幺半群.
(3)逆元.
\(60^{-1}=300\), \(120^{-1}=240\), \(180^{-1}=180\), \(240^{-1}=120\), \(300^{-1}=60\).
故\({\langle}X, {\oplus}{\rangle}\)是群.
(4)生成元\(g=60\). 因为:
\(g^0=0\), \(g^1=60\), \(g^2=120\), \(g^3=180\), \(g^4=240\), \(g^5=300\), \(g^6=0\), \(g^7=60\), \({\cdots}\)
故\({\langle}X, {\oplus}{\rangle}\)是循环群.
实际上, 该循环群还有一个生成元\(g=300\). 因为:
\(g^0=0\), \(g^1=300\), \(g^2=240\), \(g^3=180\), \(g^4=120\), \(g^5=60\), \(g^6=0\), \(g^7=300\), \({\cdots}\)
对于循环群\(U={\langle}{\langle}g{\rangle}, *{\rangle}\), 根据生成元周期的特点可分为两类循环群:
(1)当生成元\(g\)的阶为无限时, \(U\)是一个无限阶循环群, 这时: \[{\langle}g{\rangle}=\{g^n|n{\in}Z, 当m{\neq}n时, g^m{\neq}g^n\}\]
(2)当生成元\(g\)的阶为有限时, \(U\)是一个有限阶循环群.若\(|g|=n\), 则: \[{\langle}g{\rangle}=\{e, g, g^2, {\cdots}, g^{n-1}\}.\]
例: 设\(X=\{0, 60, 120, 180, 240, 300\}\), \({\oplus}\)是\(X\)上的二元运算, 对\({\forall}a, b{\in}X\), 有: \(a{\oplus}b=(a+b)\, mod\, 360\). \({\langle}X, {\oplus}{\rangle}\)就是六阶循环群.
因为: 有生成元\(g=60\). \(g^0=0\), \(g^1=60\), \(g^2=120\), \(g^3=180\), \(g^4=240\), \(g^5=300\), \(g^6=0\), \(g^7=60\), \({\cdots}\), 所以, \(|g|=6\), \(X={\langle}g{\rangle}=\{g^0, g^1, g^2, g^3, g^4, g^5\}.\)
关于循环群\(U={\langle}{\langle}g{\rangle}, *{\rangle}\)的生成元的个数, 有以下定理.
定理:
(1)若\(U\)是一个无限阶循环群, 则\(U\)中只有\(g\)和\(g^{-1}\)两个生成元.
(2)若\(U\)是一个有限阶循环群, 且阶为\(n\), 则\(U\)中有\(\varphi(n)\)个生成元.
\(\varphi(n)\)是欧拉函数, 表示小于\(n\)且与\(n\)互素的正整数的个数.
例: 9的欧拉函数:\(\varphi(9)=6\).
因为与9互素且小于9的正整数是1, 2, 4, 5, 7, 8, 共6个.
例如, 设\(X=\{0, 60, 120, 180, 240\),\(300\}, {\oplus}\)是\(X\)上的二元运算, 对\({\forall}a, b{\in}X\), 有:
\[a{\oplus}b=(a+b)\, mod\, 360.\]
六阶循环群\({\langle}X, {\oplus}{\rangle}\), \(\varphi(6)=2\).故有两个生成元60和300.
例: 整数加法群\(U={\langle}Z, +{\rangle}\)是个无限循环群.
解: \(U\)的幺元为0, 对于任意的\(x{\in}Z\), \(x\)的逆元是\(-x\), 即\(x^{-1}=-x\). 整数1和-1都是\(U\)的生成元.
对生成元1来说, 对于任意的正整数\(n\), 有:
\(1^0=0\), \(1^1=1\), \(1^2=1+1=2\), \({\cdots}\), \(1^n=1+1+{\cdots}+1=n\), \({\cdots}\).
\(1^{-1}=-1\), \(1^{-2}=(1^{-1})^2=(-1)^2=(-1)+(-1)=-2\), \({\cdots}\), \(1^{-n}=(1^{-1})^n=(-1)^n=-n\), \({\cdots}\).
\(n=(1+1+\cdots+1)=1^n\),
\(-n=(-1)+(-1)+\cdots+(-1)=(-1)^n\).
例: 对于12阶循环群: \(G={\langle}{\langle}g{\rangle}, *{\rangle}={\langle}\{e, g, g^2, {\cdots}, g^{11}\}, *{\rangle}\), 小于等于12且与12互素的数是1, 5, 7, 11, 所以 \(\varphi(12)=4\). \(G\)有四个生成元, 分别是\(g, g^5, g^7, g^{11}\).
定理: 设\(U={\langle}{\langle}g{\rangle}, *{\rangle}\)是一个循环群：
若\(g\)的周期是有限的(\(|g|=m\)), 则\({\langle}{\langle}g{\rangle}, *{\rangle}\)与\({\langle}N_m, +_m{\rangle}\)同构.
若\(g\)的周期是无限的. 则\({\langle}{\langle}g{\rangle}, *{\rangle}\)与\({\langle}Z, +{\rangle}\)同构.
定理: 设\(U={\langle}S, *{\rangle}\)是由\(g\)生成的一个有限循环群. 若\(|S|=n\), 则必有\(g^n=e\), 且: \[S=\{g^1, g^2, {\cdots}, g^n=g^0=e\}\] 其中, \(n\)是能使\(g^n=e\)的最小正整数.
定理: 每个循环群都是交换群.
证明: 设\(U={\langle}S, *{\rangle}\)是一循环群, 生成元是\(g\), 则对于任意的\(x, y{\in}S\), 存在正整数\(m, n{\in}Z\), 使得: \(x=g^m, y=g^n\). 于是有: \(x*y=g^m*g^n=g^{m+n},\,\,y*x=g^n*g^m=g^{n+m}=g^{m+n}\). 从而\(x*y=y*x\), 所以\(U\)是交换群.
对称群与置换群
定义: 设\(S\)是一个非空有限集合, \(S\)上的一个双射函数(一一映射)称为\(S\)上的一个置换; 若\(S\)中有\(n\)个元素, 则称为n元置换. 若\(|S|=n\), 用\(S_n\)表示\(S\)上全体\(n\)元置换集合. \[S_n=\{f|f:S{\rightarrow}S的置换\}\]
置换的复合运算定义为: 对\({\forall}x{\in}S\), 有: \(f{\circ}g(x)=g(f(x))\), \(f{\circ}g\)称为\(f\)和\(g\)的置换乘法.
对于\(S\)上任意两个置换\(f, g\), 进行置换复合运算后得到的\(f{\circ}g\)也是\(S\)上的置换, 即置换的复合运算是封闭的.
这样的复合运算是满足结合律的, 且\(S\)上存在一个恒等置换\(E\)(单位元), 使得对于任意\(S\)上的置换\(f\), 有: \(E{\circ}f=f{\circ}E=f\)
另外, 对于任意置换\(f\), \(S\)中存在置换\(f^{-1}\), 使得: \(f^{-1}{\circ}f=f{\circ}f^{-1}=E\).
这说明\(S\)上的全体置换集合\(S_n\)同置换的复合运算\({\langle}S_n, \circ{\rangle}\)构成一个群.
定义: 设\(S_n\)是\(S\)上的全体置换的集合, 则对于置换的复合运算\({\circ}\), \({\langle}S_n, {\circ}{\rangle}\)构成一个群, 这个群称为\(S\)上的n元对称群.
\({\langle}S_n, {\circ}{\rangle}\)的任何一个子群称为集合\(S\)上的一个n元置换群.
例: 设\(S=\{1, 2, 3\}\), \(S\)上的三元对称群为\({\langle}S_3, \circ{\rangle}\), 其中:
\(S_3=\{{\pi}_e, {\pi}_1, {\pi}_2, {\pi}_3, {\pi}_4, {\pi}_5\}\)
\[ {\pi}_e=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3\\ \end{matrix}\right) ,\,\, {\pi}_1=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3\\ \end{matrix}\right) \] \[ {\pi}_2=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1\\ \end{matrix}\right) ,\,\, {\pi}_3=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2\\ \end{matrix}\right) \]
\[ {\pi}_4=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\\ \end{matrix}\right) ,\,\, {\pi}_5=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2\\ \end{matrix}\right) \]
\[ \begin{array}{ccccccc} \circ & {\pi}_e & {\pi}_1 & {\pi}_2 & {\pi}_3 & {\pi}_4 & {\pi}_5\\ {\pi}_e & {\pi}_e & {\pi}_1 & {\pi}_2 & {\pi}_3 & {\pi}_4 & {\pi}_5\\ {\pi}_1 & {\pi}_1 & {\pi}_e & {\pi}_4 & {\pi}_5 & {\pi}_2 & {\pi}_3\\ {\pi}_2 & {\pi}_2 & {\pi}_5 & {\pi}_e & {\pi}_4 & {\pi}_3 & {\pi}_1\\ {\pi}_3 & {\pi}_3 & {\pi}_4 & {\pi}_5 & {\pi}_e & {\pi}_1 & {\pi}_2\\ {\pi}_4 & {\pi}_4 & {\pi}_3 & {\pi}_1 & {\pi}_2 & {\pi}_5 & {\pi}_e\\ {\pi}_5 & {\pi}_5 & {\pi}_2 & {\pi}_3 & {\pi}_1 & {\pi}_e & {\pi}_4\\ \end{array} \]
可以验证: \({\langle}S_3, {\circ}{\rangle}\)是六阶三元对称群,
\({\langle}\{{\pi}_e\}, {\circ}{\rangle}\)是一阶三元置换群,
\({\langle}\{{\pi}_e, {\pi}_1\}, {\circ}{\rangle}\), \({\langle}\{{\pi}_e, {\pi}_2\}, {\circ}{\rangle}\)和\({\langle}\{{\pi}_e, {\pi}_3\}, {\circ}{\rangle}\)都是二阶三元置换群,
\({\langle}\{{\pi}_e, {\pi}_4, {\pi}_5\}, {\circ}{\rangle}\)是三阶三元置换群.
定义: 设\(U={\langle}G, {\circ}{\rangle}\)是集合\(S\)的一个置换群, 称: \[R=\{{\langle}a, b{\rangle}|{\pi}(a)=b, {\pi}{\in}G\}\] 为\(U\)诱导的集合\(S\)上的二元关系.
例: 设\(S=\{1, 2, 3\}\), \(G=\{{\pi}_e, {\pi}_1\}\).
\[ {\pi}_e=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3\\ \end{matrix}\right) ,\,\, {\pi}_1=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3\\ \end{matrix}\right) \]
\({\langle}G, {\circ}{\rangle}\)是\(S\)的一个二阶三元置换群, 它所诱导的二元关系为:
\[R=\{{\langle}1, 1{\rangle}, {\langle}2, 2{\rangle}, {\langle}3, 3{\rangle}, {\langle}1, 2{\rangle}, {\langle}2, 1{\rangle}\}\]
定理: 由置换群\({\langle}G, \circ{\rangle}\)诱导的\(S\)上的二元关系是一个等价关系.
上例中, 显然:
\(R=\{{\langle}1, 1{\rangle}, {\langle}2, 2{\rangle}, {\langle}3, 3{\rangle}, {\langle}1, 2{\rangle}, {\langle}2, 1{\rangle}\}\)
是自反的、对称的和传递的, 故是等价关系.
定义: 设\(U={\langle}G, *{\rangle}\)和\(V={\langle}H, \circ{\rangle}\)都是群, \(f:G{\rightarrow}H\)是映射, 若对于任意的\(a, b{\in}G\), 有: \[f(a*b)=f(a){\circ}f(b)\] 则称\(f\)为从\(U\)到\(V\)的群同态, 且:
(1)若\(f\)是满射的, 则称\(f\)为从\(U\)到\(V\)的群满同态.
(2)若\(f\)是单射的, 则称\(f\)为从\(U\)到\(V\)的群单同态.
(3)若\(f\)是双射的, 则称\(f\)为从\(U\)到\(V\)的群同构.
特别地, 若\(f\)是群\(U\)到群\(U\)的同态(同构), 则称\(f\)为群\(U\)的自同态(自同构).
例: 设群\(G_1={\langle}M_n^*(R), *{\rangle}\)和群\(G_2={\langle}R^*, {\times}{\rangle}\).
其中, \(R^*\)是非零实数集, \(M_n^*(R)\)为实\(n{\times}n\)实可逆方阵集合, \(G_1\)和\(G_2\)中代数运算\(*\)和\({\times}\)分别为矩阵乘法和数的乘法.
函数\(f:M_n^*(R){\rightarrow}R^*\), 定义为:对于任意的\(A{\in}M_n^*(R)\), 有: \[f(A)=|A|\]
求证: \(f\)是\(G_1\)到\(G_2\)的群满同态.
证明: 对于任意的\(A, B{\in}M_n^*(R)\), 有: \[f(A*B)=|A*B|=|A|{\times}|B|=f(A){\times}f(B)\] 故\(f\)是群同态.
另外, 对于任意的\(r{\in}R^*\), 取
\[ A=\left( \begin{matrix} r & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1\\ \end{matrix} \right){\in}M_n^*(R) \]
则有: \(f(A)=|A|=r\). 故\(f\)是满射的, 于是\(f\)是从\(G_1\)到\(G_2\)的群满同态.
定理: 设\(f\)是群\(U={\langle}G, *{\rangle}\)到群\(V={\langle}H, \circ{\rangle}\)的同态映射. \(e_G\)和\(e_H\)分别为\(U\)和\(V\)的单位元, 那么:
\(f(e_G)=e_H\)
\(f(x^{-1})=f^{-1}(x)\) (\({\forall}x{\in}G\))
环
定义: 若具有两个二元运算的代数系统\(U={\langle}S, +, *{\rangle}\)同时满足:
\({\langle}S, +{\rangle}\)是一个交换群;
\({\langle}S, *{\rangle}\)是一个半群;
乘法运算\(*\)对加法运算\(+\)满足分配律, 即:对于任意的\(a\), \(b\), \(c{\in}S\), 有:
\(a*(b+c)=a*b+a*c\), \((b+c)*a=b*a+c*a\), 则称\(U\)是一个环.
例: \({\langle}Z, +, {\times}{\rangle}\), \({\langle}Q, +, {\times}{\rangle}\), \({\langle}R, +, {\times}{\rangle}\), \({\langle}C, +, {\times}{\rangle}\)都是环, 分别称为整数环、有理数环、实数环和复数环. 这些环统称为数环.
例: 对于\({\langle}Z, +, {\times}{\rangle}\)来说, 因为:
(1)\({\langle}Z, +{\rangle}\)是一个交换群;
(2)\({\langle}Z, {\times}{\rangle}\)是一个半群;
(3)乘法\({\times}\)对加法\(+\)满足分配律:
\({\forall}a, b, c{\in}S\), 有: \(a{\times}(b+c)=a{\times}b+a{\times}c, \, \, (b+c){\times}a=b{\times}a+c{\times}a\).
所以\({\langle}Z, +, {\times}{\rangle}\)是一个环.
在环\({\langle}S, +, *{\rangle}\)中, 加法运算的幺元用0表示, 称为环的零元; 乘法运算若有幺元则用1表示, 称为环的幺元(单位元).
环中元素\(a\)对加法运算的逆元用\(-a\)表示, 称为\(a\)的负元.
\(a+(-b)\)通常写成\(a-b\). 乘法运算若存在逆元, 则用\(a^{-1}\)表示, 称为\(a\)的逆元.
有时为了简洁起见, 可以把\(a*b\)写成\(ab\)的形式.对于\(+\)运算和\(*\)运算\(a\)的\(n\)次幂分别表示成\(na\)和\(a^n\), 即: \[na=a+a+\cdots+a\] \[a^n=a*a*\cdots*a\]
并且约定, 在无扩号时, 运算顺序是指数优先于乘法, 乘法优先于加法.
定义: 在环\(R={\langle}S, +, *{\rangle}\)中, 若\(*\)运算是可交换的, 则称\(R\)为交换环.
例如, 数环都是交换环.
求证: 代数系统\({\langle}Z, {\oplus}, {\odot}{\rangle}\)是交换环, 其中\({\oplus}\), \({\odot}\)分别定义如下: \({\forall}a, b{\in}Z\), \(a{\oplus}b=a+b-1\), \(a{\odot}b=a+b-ab\).
证明: (1)\({\langle}Z, {\oplus}{\rangle}\)是交换群.
结合律. \({\forall}a, b, c{\in}Z\), \[(a{\oplus}b){\oplus}c=(a+b-1){\oplus}c=(a+b-1)+c-1=a+b+c-2\] \[a{\oplus}(b{\oplus}c)=a{\oplus}(b+c-1)=a+(b+c-1)-1=a+b+c-2\] \[(a{\oplus}b){\oplus}c=a{\oplus}(b{\oplus}c)\]
单位元(零元).
1是单位元. 因为\({\forall}a{\in}Z\),
\[1{\oplus}a=1+a-1=a\] \[a{\oplus}1=a+1-1=a\] \[1{\oplus}a=a{\oplus}1=a\]
逆元(负元).
对\({\forall}a{\in}Z\), \(A\)的逆元为\(2-a\). 因为: \[a{\oplus}(2-a)=a+2-a-1=1\] \[(2-a){\oplus}a=2-a+a-1=1\] \[a{\oplus}(2-a)=(2-a){\oplus}a=1\]
交换律.
\({\forall}a, b{\in}Z\), \[a{\oplus}b=a+b-1=b+a-1=b{\oplus}a\]
故: \({\langle}Z, {\oplus}{\rangle}\)是交换群.
(2)\({\langle}Z, {\odot}{\rangle}\)是半群.
结合律.
\({\forall}a, b, c{\in}Z\), \[(a{\odot}b){\odot}c=(a+b-ab){\odot}c\] \[=(a+b-ab)+c-(a+b-ab)c\] \[=a+b+c-ab-ac-bc+abc\]
\[a{\odot}(b{\odot}c)=a{\odot}(b+c-bc)\] \[=a+(b+c-bc)-a(b+c-bc)\] \[=a+b+c-ab-ac-bc+abc\] \[(a{\odot}b){\odot}c=a{\odot}(b{\odot}c)\] 故:\({\langle}Z, {\odot}{\rangle}\)是半群
(3)\({\odot}\)对\({\oplus}\)的分配律. \({\forall}a, b, c{\in}Z\), \[a{\odot}(b{\oplus}c)=a{\odot}(b+c-1)\] \[=a+b+c-1-a(b+c-1)\] \[=a+b-ab+a+c-ac-1\] \[=a{\odot}b+a{\odot}c-1=(a{\odot}b){\oplus}(a{\odot}c)\]
\[(b{\oplus}c){\odot}a=(b+c-1){\odot}a\] \[=b+c-1+a-(b+c-1)a\] \[=b+c-1+a-ba-ca+a\] \[=b+a-ba+c+a-ca-1\] \[=(b{\odot}a){\oplus}(c{\odot}a)\]
故:\({\langle}Z, {\oplus}, {\odot}{\rangle}\)是环.
(4)乘法交换律.
\({\forall}a, b{\in}Z\), \[a{\odot}b=a+b-ab\] \[b{\odot}a=b+a-ba=a+b-ab\] 于是 \[a{\odot}b=b{\odot}a\]
故:\({\langle}Z, {\oplus}, {\odot}{\rangle}\)是交换环.
定义: 在环\(U={\langle}S, +, *{\rangle}\)中, 若\({\langle}S, *{\rangle}\)为含幺半群, 则称\(U\)是含幺环.
例如, 整数环、有理数环和实数环都是含幺环 (幺元为1), 复数环的幺元也是1(即\(1+0i\), 其中\(i\)为虚数符号).
对于\({\langle}Z, +, {\times}{\rangle}\)来说, 因为\({\langle}Z, +{\rangle}\)是交换群, \({\langle}Z, {\times}{\rangle}\)是含幺半群, \({\times}\)对\(+\)满足分配律.故\({\langle}Z, +, {\times}{\rangle}\)是含幺环.
又如, 设\(E_V\)为偶数集合, 即\(E_V=\{2i|i{\in}Z\}\), \(+\)和\({\times}\)是通常的加法运算和乘法运算, 则\(U={\langle}E_V, +, {\times}{\rangle}\)构成一个环, 但这个环不含幺元, 故\(U\)不是含幺环.
例: 设\({\langle}A, +{\rangle}\)是一个交换群, 在\(A\)上规定\(*\)运算为: 对\({\forall}a, b{\in}A\), \(a*b=0\).
这里0是\({\langle}A, +{\rangle}\)中单位元, 则\({\langle}A, +, *{\rangle}\)是环.
证明: 已知\({\langle}A, +{\rangle}\)是一个交换群.
- 证明\({\langle}A, *{\rangle}\)是半群. \({\forall}a, b, c{\in}A\), 有:
\(a*b=0{\in}A\), 封闭性成立.
又\(a*(b*c)=a*0=0\), \((a*b)*c=0*c=0\), 所以\(a*(b*c)=(a*b)*c\), 结合律成立.
故\({\langle}A, *{\rangle}\)是半群.
- *对+的分配律.\({\forall}a, b, c{\in}A, b+c{\in}A\)
\(a*(b+c)=0\), \(a*b+a*c=0+0=0\)
故:\(a*(b+c)=a*b+a*c\)
\((b+c)*a=0\), \(b*a+c*a=0+0=0\)
故:\((b+c)*a=b*a+c*a\)
\(*\)对\(+\)满足分配律.
所以: \({\langle}A, +, *{\rangle}\)是环. 此环称为零环.
定义: 设\(a\), \(b\)是环\(U={\langle}S, +, *{\rangle}\)中的两个非零元素, 如果\(a*b=0\), 则称\(a\)是\(U\)的一个左零因子, \(b\)是\(U\)的一个右零因子. 若一个元素既是左零因子, 又是右零因子, 则称它是一个零因子.
例: 设\(R\)是实数集合, 在全体实数序偶\(R{\times}R\)中, 定义\({\oplus}\)运算和\({\odot}\)运算与如下:
对于任意的\({\langle}a_1, b_1{\rangle}\), \({\langle}a_2, b_2{\rangle}{\in}R{\times}R\)
\[{\langle}a_1, b_1{\rangle}{\oplus}{\langle}a_2, b_2{\rangle}={\langle}a_1+a_2, b_1+b_2{\rangle}\] \[{\langle}a_1, b_1{\rangle}{\odot}{\langle}a_2, b_2{\rangle}={\langle}a_1{\times}a_2, b_1{\times}b_2{\rangle}\] 则\({\langle}R{\times}R, {\oplus}, {\odot}{\rangle}\)构成环.
零元是\({\langle}0, 0{\rangle}\), 幺元是 \({\langle}1, 1{\rangle}\), 并且对于任意的\(a{\neq}0\), \(b{\neq}0\). \({\langle}a, 0{\rangle}{\neq}{\langle}0, 0{\rangle},\,\,{\langle}0, b{\rangle}{\neq}{\langle}0, 0{\rangle}\) 是非零元素. 但: \[{\langle}a, 0{\rangle}{\odot}{\langle}0, b{\rangle}={\langle}0, 0{\rangle},\,\,\, {\langle}0, b{\rangle}{\odot}{\langle}a, 0{\rangle}={\langle}0, 0{\rangle}\] 都是零因子.
定义: 设\(U={\langle}S, +, *{\rangle}\)是一个环, 若对于任意的非零元素\(a, b{\in}S\), 都有\(a*b{\neq}0\), 则称\(U\)是一个无零因子环.
数环都是无零因子环. 例如, 对\({\langle}Z, +, {\times}{\rangle}\), \({\forall}a, b{\in}Z\), 若\(a{\times}b=0\), 则\(a=0\)或\(b=0\), 故\({\langle}Z, +, {\times}{\rangle}\)是无零因子环.
由无零因子环的定义可知, 当一个环无左零因子(这时必然也无右零因子), 就称该环是无零因子环.
定理: 设\(R={\langle}S, +, *{\rangle}\)是环, \({\forall}a, b, c{\in}S\), 则有:
\(a*0=0*a=0.\)
\((-a)*b=a*(-b)=-a*b.\)
\((-a)*(-b)=a*b.\)
\(a*(b-c)=a*b-a*c\), \((b-c)*a=b*a-c*a\).
定理: 环\(U={\langle}S, +, *{\rangle}\)是一个无零因子环当且仅当\(*\)运算满足消去律.
即:\(U={\langle}S, +, *{\rangle}\)是一个无零因子环, 对于\({\forall}a, b, c{\in}S\), 且\(a{\neq}0\), 若有\(a*b=a*c\)和\(b*a=c*a\), 则有\(b=c\).
定义: 若\(U\)是可交换、含么元、无零因子环, 则称\(U\)是整环. 数环都是整环.
例: 设\(M_2(R)\)是全体\(2{\times}2\)实矩阵的集合, \(+\)和\(*\)是普通的矩阵加法和乘法. 则\({\langle}M_2(R), +, *{\rangle}\)是个含幺元的不可交换环, 从而不是整环.
因为这个环的零元和幺元分别是:
\[ \left( \begin{matrix} 0 & 0\\ 0 & 0\\ \end{matrix} \right) 和 \left( \begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{matrix} \right) \]
显然, 矩阵乘法不满足交换律, 即\(A*B{\neq}B*A\), 所以\(*\)运算是不可交换的.
因此, \({\langle}M_2(R), +, *{\rangle}\)不是整环. 是否是无零因子环？
例: 设\(U={\langle}S, +, *{\rangle}\)是至少具有两个元素的含幺元环, \(\mathbf{0}\), \(\mathbf{1}\)分别是\(U\)中的零元和单位元, 则\(\mathbf{0}{\neq}\mathbf{1}\).
证明: 用反证法.若\(\mathbf{0}=\mathbf{1}\), 由\(S\)至少有两个元素知, \(S\)中必有一个非零元素\(a{\neq}\mathbf{0}\).
因为: \[\mathbf{0}*a=\mathbf{0}\] \[\mathbf{0}=\mathbf{0}*a=\mathbf{1}*a=a\] 于是有: \(\mathbf{0}=a\)
这与假设矛盾. 所以\(\mathbf{0}{\neq}\mathbf{1}\).
定义: 一个环\(U={\langle}S, +, *{\rangle}\)若满足:
\(S\)中至少有两个元素;
\(S\)中存在单位元1;
\(S-\{0\}\)中每个元素都有逆元.
则称此环\(U\)为除环.
定理: 除环满足消去律, 且无零因子.
定义: 除环若满足交换律, 称其为交换除环.
子环与环的同态
子环
定义: 设\(U={\langle}R, +, *{\rangle}\)是一个环, \(S\)是\(R\)的一个非空子集.若\(V={\langle}S, +, *{\rangle}\)也构成一个环, 则称\(V\)是\(U\)的子环, 同时称\(U\)是\(V\)的扩环.
特别地, 当\(S=R\)或\(S=\{0\}\)时, \(V\)也都是\(U\)的子环, 这两个子环统称为平凡子环.
例如, 偶数环\({\langle}E_V, +, {\times}{\rangle}\)是整数环\({\langle}Z, +, {\times}{\rangle}\)的子环.
有理数环\(Q\)、实数环\(R\)和整数环\(Z\)都是复数环\(C\)的子环.
定理：设\(U={\langle}R, +, *{\rangle}\)是一个环, \(S{\subseteq}R\)非空, 则\(V={\langle}S, +, *{\rangle}\)是\(U\)的子环的充要条件是:
\({\langle}S, +{\rangle}\)是\({\langle}R, +{\rangle}\)的子群.
\({\langle}S, *{\rangle}\)是\({\langle}R, *{\rangle}\)的子半群.
定理: 设\(U={\langle}R, +, *{\rangle}\)是一个环, \(S{\subseteq}R\), 则\(V={\langle}S, +, *{\rangle}\)是\(U\)的子环当且仅当对于任意的\(a, b{\in}S\), 有\(a-b{\in}S\)且\(a*b{\in}S\).
求证:\({\langle}2Z, +, {\times}{\rangle}\)是整数环\({\langle}Z, +, {\times}{\rangle}\)的子环. 其中, \(2Z=\{2n|n{\in}Z\}.\)
证明: 显然\(2Z{\subseteq}Z\), 且非空(\(0{\in}2Z\)).
对\({\forall}2m, 2n{\in}2Z\), 有\(m, n{\in}Z\), \(m-n{\in}Z\), \(-n{\in}Z\), \(-2n=2(-n){\in}2Z\).
所以: \(2m-2n=2(m-n){\in}2Z,\,\,2m{\times}2n=2(m{\times}2n){\in}2Z\) (因\(2n{\in}Z\), \(m{\times}2n{\in}Z\)), 故: \({\langle}2Z, +, {\times}{\rangle}\)是整数环\({\langle}Z, +, {\times}{\rangle}\)的子环.
环的同态
定义: 设\(U={\langle}S, +, *{\rangle}\), \(V={\langle}X, {\oplus}, {\odot}{\rangle}\)是两个环, 若有映射\(f:S{\rightarrow}X\), 使得对于任意的\(a, b{\in}S\), 有: \(f(a+b)=f(a){\oplus}f(b),\,\,f(a*b)=f(a){\odot}f(b)\), 则称\(f\)为\(U\)到\(V\)的环同态. 且:
若\(f\)是满射的, 则称\(f\)为从\(U\)到\(V\)的环满同态.
若\(f\)是单射的, 则称\(f\)为从\(U\)到\(V\)的环单同态.
若\(f\)是双射的, 则称\(f\)为从\(U\)到\(V\)的环同构.
例: 设\(U={\langle}Z, +, {\times}{\rangle}\)为整数环, \(V={\langle}N_m, \mathsf{+}_m, \mathsf{\times}_m{\rangle}\)为模\(m\)整数环, \(N_m=\{0, 1, 2, {\cdots}, m-1\}\). 其中, \(\mathsf{+}_m\), \(\mathsf{\times}_m\)为模等加与模等乘.
即对\({\forall}x, y{\in}Z\), 有: \(x\mathsf{+}_my=(x+y)\, mod\, m,\,\,x\mathsf{\times}_my=(x{\times}y)\, mod\, m\)
设函数\(f:Z{\rightarrow}N_m\), 对任意\(x{\in}Z\), \(f(x)=x\, mod\, m\).
求证: \(f\)是从\(U\)到\(V\)的环满同态.
证明: 对任意\(x_1, x_2{\in}Z\), 有 \[f(x_1+x_2)=(x_1+x_2)\, mod\, m=x_1\, mod\, m\mathsf{+}_mx_2\, mod\, m\]
\[f(x_1{\times}x_2)=(x_1{\times}x_2)\, mod\, m=x_1\, mod\, m\mathsf{\times}_mx_2\, mod\, m\] 即: \[f(x_1+x_2)=f(x_1)\mathsf{+}_mf(x_2),\,\,f(x_1{\times}x_2)=f(x_1)\mathsf{\times}_mf(x_2)\]
故: \(f\)是从\(U\)到\(V\)的环同态.
又\({\forall}n{\in}N_m\), 存在\(n{\in}Z\), 满足\(f(n)=n\, mod\, m\), 故\(f\)是满射函数, 所以\(f\)是环满同态.
域
定义: 设有代数系统\(U={\langle}S, +, *{\rangle}\), 若满足:
\({\langle}S, +{\rangle}\)是阿贝尔群;
\({\langle}S-\{0\}, *{\rangle}\)是阿贝尔群;
\(*\)运算对\(+\)运算满足分配律.
则称\(U\)是一个域.
定义的第二个条件说明一个域至少包含两个元素.
因此, 含有非零元素、存在幺元、并且每个非零元素都有逆元的交换环就是域.
例: 若\(Z\), \(R\), \(Q\)和\(C\)分别是整数、实数、有理数和复数集合, \(+\)和\({\times}\)是普通的加法和乘法运算, 则: \({\langle}R, +, {\times}{\rangle}\), \({\langle}Q, +, {\times}{\rangle}\), \({\langle}C, +, {\times}{\rangle}\) 都是域.
但\({\langle}Z, +, {\times}{\rangle}\)是整环不是域, 因\({\langle}Z-\{0\}, {\times}{\rangle}\)不是群.除1和-1外, 其它非零元素均无逆元.
定理: 每一个域都满足消去律.
证明: 设\({\langle}R, +, *{\rangle}\)是一个域. 对于任意的\(a, b, c{\in}R\), \(a{\neq}0\), 若: \(a*b=a*c\), 则: \(a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c\). 因此: \(b=c\).
定理: 域一定是整环.
定理: 有限整环必定是域.