代数系统

Author

李 辉

运算及其性质

代数系统是在一个抽象集合上定义了若干代数运算所组成的系统.

不同的数学结构常具有相同的代数运算性质, 把这些共同的性质抽象出来统一研究就形成了抽象代数(Abstract algebra)这门科学.

代数运算定义

设有非空集合\(A\),\(n\)是正整数,从\(A^n=A{\times}A{\times}\cdots{\times}A\)到\(A\)的一个映射: \(f:A^n{\rightarrow}A\), 称为集合\(A\)上一个\(n\)元代数运算, 简称为n元运算, \(n\)称为运算的阶.

当\(n=1\)时, 称\(f:A{\rightarrow}A\)为\(A\)上的一个一元运算(Unary operation);

当\(n=2\)时, 称\(f:A^2{\rightarrow}A\)为\(A\)上的一个二元运算(Binary operation).

例: 一元运算\(f:R{\rightarrow}R\), 对任意的\(x{\in}R\), \(f(x)=-x\), 这是通常的求相反数运算.

例: 一元运算\(f:R^+{\rightarrow}R^+\),对任意的\(x{\in}R^+\), \(f(x)=1/x\), 这是通常的求倒数运算.

例: 二元运算\(f:R^2{\rightarrow}R\),对任意的\(x_1,x_2{\in}R\), \(f(x_1,x_2)=x_1+x_2\), 这是通常的加法运算.

对于代数运算\(f:A^n{\rightarrow}A\).

定义域\(dom\,f=A^n\), 称为代数运算的全域性.

值域\(ran\,f{\subseteq}A\), 称为代数运算的封闭性.

例如, 整数集合\(Z\)上, 加法, 减法, 乘法都是二元运算. 因为任意两个整数相加, 相减, 相乘还是整数.

但是, 对于整数集合\(Z\), 除法运算不是二元运算. 因为任意两个整数相除未必是整数, 且除数也不能为零.

事实上, 加法和乘法是自然数上的二元运算: 加, 减, 乘都是整数集上的二元运算, 也是实数集上的二元运算; 乘, 除是\(R\)-{0}上的二元运算.

例: 设有集合, 函数:\(f:S{\rightarrow}S\)定义为 \(S=\{1,2,\cdots,n,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3},\cdots,\tfrac{1}{n}\}\), 对于任意的\(x{\in}S\), 有 \(f(x)=\tfrac{1}{x}\), 则\(f\)是\(S\)上的一个一元运算.

通常用\(\sim\)或\(\lnot\)来表示一元运算符, 上例表示为: \(\sim(x)=\tfrac{1}{x}\).

例如, \({\sim}(5)=\tfrac{1}{5}\), \({\sim}(7)=\tfrac{1}{7}\), \({\sim}(12)=\tfrac{1}{12}\). 而用\(*\),\(\circ\),\(\bullet\),\(\oplus\),\(\otimes\)等符号表示二元运算符.

例: 设\(N\)是自然数集合, 函数\(f:N^2{\rightarrow}N\)定义为: 对于任意的\({\langle}n_1,n_2{\rangle}{\in}N^2\), \[f(n_1,n_2)=LCM(n_1,n_2).\] 即求\(n_1\)和\(n_2\)的最小公倍数(Least common multiple). \(f\)是\(N\)上的一个二元运算.

若用\(*\)表示运算符, 则有: \[f(1,1)=LCM(1,1)=1*1=1\] \[f(2,3)=2*3=6\] \[f(4,8)=4*8=8\]

例: 设\(R\)是实数集合, \(n\)是正整数, 函数\(f:R^n{\rightarrow}R\)定义为: 对于任意的\({\langle}r_1,r_2,\cdots,r_n{\rangle}{\in}R^n\), \[f(r_1,r_2,\cdots,r_n)=r_1\] 则\(f\)是\(R\)上的一个\(n\)元运算.

若用\(\circ\)表示运算符, 则有: \[\circ(r_1,r_2,\cdots,r_n)=r_1\]

定义: 设\(*\)是集合\(A\)上的一个\(n\)元运算, 若对于任意的\({\langle}a_1,a_2,\cdots,a_n{\rangle}{\in}A^n\),都有 \[*(a_1,a_2,\cdots,a_n){\in}A,\] 则称\(*\)运算在\(A\)上是封闭的.

例: 判断下列集合在普通加法运算”+“和普通乘法运算”\(\times\)“下是否封闭?

\[A=\{0,1\}\] \[B=\{x|x=2^n,n{\in}N\}\] \[C=\{-1,1\}\] \[D=\{x|x=2n,n{\in}N\}\]

解: “\(\times\)”运算在上述四个集合中都是封闭的. 而对于”+“运算:

在\(A\)中不封闭, 因为\(1{\in}A\), 但\(1+1=2{\notin}A\).

在\(B\)中不封闭, 因为2和\(2^2\)都属于\(B\), 但\(2+2^2=6{\notin}B\).

在\(C\)中不封闭, 因为\(1{\in}C\), 但\(1+1=2{\notin}C\).

在\(D\)中是封闭的.

例:函数\(f:Z^2{\rightarrow}Z\)定义为:对于任意的\({\langle}n_1,n_2{\rangle}{\in}Z^2\), \(f(n_1,n_2)=n_1-n_2\).

可见运算”-“对\(Z\)是封闭的. 但是, 若取\(N\),”-“对\(N\)就不封闭了, 因为\(2,3{\in}N\),而\(2-3{\notin}N\).

例: 函数\(f:N^2{\rightarrow}N\)定义为:对于任意的\({\langle}n_1,n_2{\rangle}{\in}N^2\), \(f(n_1,n_2)=n_1+n_2\).

可见运算”+“对\(N\)是封闭的. 但是, 若取集合\(N{\cup}\{-1\}\),”+“对\(N{\cup}\{-1\}\)就不封闭了.

由于代数系统中定义的运算可以扩展至数域以外, 所以运算规则本身不一定能用一个解析表达式表示, 而通常用运算表来定义.

对于有穷集合\(A\)上的一元和二元运算, 常用运算表来表示.

例如,集合\(S=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\)上的一个一元运算和一个二元运算, 分别用如下的运算表来表示, 其中\(\sim\)和\(*\)分别为一元运算符和二元运算符.

\[ \begin{array}{cc} a_1 & {\sim}(a_1)\\ a_2 & {\sim}(a_2)\\ \vdots & \vdots\\ a_n & {\sim}(a_n)\\ \end{array} \]

  \[ \begin{array}{ccccc} * & a_1 & a_2 & \cdots & a_n\\ a_1 & a_1*a_1 & a_1*a_2 & \cdots & a_1*a_n \\ a_2 & a_2*a_1 & a_2*a_2 & \cdots & a_2*a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_n & a_n*a_1 & a_n*a_2 & \cdots & a_n*a_n \\ \end{array} \]

例: 设集合\(S=\{1,2,-1,-2\}\),试给出集合\(S\)上求相反数的一元运算运算表.

解: 所求运算表如下:

  \[ \begin{array}{cc} a_i & {\sim}(a_i)\\ 1 & -1\\ 2 & -2\\ -1 & 1\\ -2 & 2\\ \end{array} \]

例: 设集合\(S=\{a,b,c\}\),集合\(S\)上的一个二元运算如表所示

  \[ \begin{array}{cccc} * & a & b & c \\ a & a & b & c \\ b & b & c & a \\ c & c & a & b \\ \end{array} \]

求\(a*b\), \(b*c\), \(c*c\).

解:

\[a*b=b\]

\[b*c=a\]

\[c*c=b\]

代数运算性质

定义: 设\(*\)是定义在集合\(A\)上的一个二元运算, 若对于任意的\(a,b{\in}A\), 都有: \[a*b=b*a\] 则称\(*\)运算在集合\(A\)上是可交换的(Commutative). (\(*\)运算满足交换律)

定义: 若对于任意的\(a,b,c{\in}A\),都有 \[(a*b)*c=a*(b*c)\] 则称\(*\)运算在集合\(A\)上是可结合的(Associative). (\(*\)运算满足结合律)

例如, 自然数集合上的普通加法运算”+“和乘法”\(\times\)“都是可交换的. 因为 \(a,b{\in}N\), 有: \[a+b=b+a,\,\,\,a{\times}b=b{\times}a.\] 例: 设\(Q\)是有理数集合, \(*\)是\(Q\)上的一个二元运算, 且对于任意\(a,b{\in}Q\),定义: \[a*b=a+b-a{\times}b\] 判断\(*\)运算是否可交换?

解:对于任意的\(a,b{\in}Q\) \[a*b=a+b-a{\times}b=b+a-b{\times}a=b*a\] 因此, 运算\(*\)是可交换的.

例: 设\(N\)是自然数集, 且下面每种情况, 判断\(\circ\)运算是否是可结合的？

  • 对任意\(a,b{\in}N\), 定义: \(a{\circ}b=\max(a,b)\)

解: 对于任意的\(a,b,c{\in}N\)

\[(a{\circ}b){\circ}c=\max(a,b){\circ}c\] \[=\max(\max(a,b),c)=\max(a,b,c)\]

\[a{\circ}(b{\circ}c)=a{\circ}\max(b,c)\] \[=\max(a,\max(b,c))=\max(a,b,c)\]

所以, 运算\(\circ\)是可结合的.

  • 对于任意的\(a,b{\in}N\),定义\(a{\circ}b=a+2b\).

解: 对于任意的\(a,b,c{\in}N\)

\[(a{\circ}b){\circ}c=(a+2b){\circ}c=(a+2b)+2c=a+2b+2c.\]

\[a{\circ}(b{\circ}c)=a{\circ}(b+2c)=a+2(b+2c)=a+2b+4c.\] 所以, \((a{\circ}b){\circ}c{\neq}a{\circ}(b{\circ}c)\),

因此,运算\(\circ\)不是可结合的.

例: 判断下列二元运算\(\circ\)在实数集\(R\)上是否可交换, 可结合？

  1. \(a{\circ}b=b\)

  2. \(a{\circ}b=|a+b|\)

解: (1)对于任意的\(a,b,c{\in}R\)

\[(a{\circ}b){\circ}c=b{\circ}c=c\]

\[a{\circ}(b{\circ}c)=a{\circ}c=c\]

得: \((a{\circ}b){\circ}c=a{\circ}(b{\circ}c)\)

因此, 运算\(\circ\)是可结合的.

但 \(a{\circ}b=b,\, b{\circ}a=a\), 当\(a{\neq}b\)时, \(a{\circ}b{\neq}b{\circ}a\).

因此, \(\circ\)运算不是可交换的.

(2)取\(a=b=1\), \(c=-2\), 则有 \[(a{\circ}b){\circ}c=||1+1|-2|=0\] \[a{\circ}(b{\circ}c)=|1+|1-2||=2\]

显然, \((a{\circ}b){\circ}c{\neq}a{\circ}(b{\circ}c)\), \({\circ}\)运算不可结合.

对于任意的\(a,b{\in}R\), 有

\[a{\circ}b=|a+b|=|b+a|=b{\circ}a.\]

故\({\circ}\)运算是可交换的.

定义: 设\(*\)是集合\(A\)上的二元运算, 且是可结合的, 则对任意的\(x{\in}A\), 定义: \[x^n=x*x*{\cdots}*x\,(n个x做*运算)\] 并称为\(x\)的\(n\)次幂(Power), \(n\)称为\(x\)的指数(Exponent).

\(x^n\)的归纳定义如下: \[ \begin{cases} x^1=x & \\ x^{n+1}=x^n*x & n=1,2,3,\cdots\\ \end{cases} \]

定理: 对于任意的正整数\(m\)和\(n\), 有

  • \(x^m*x^n=x^{m+n}\)

  • \((x^m)^n=x^{mn}\)

定义: 设\(*\)是定义在集合\(A\)上的一个二元运算, 若存在\(x{\in}A\),使得\(x*x=x\),则称\(x\)为\(*\)运算的幂等元.

若\(A\)中每个元素都是\(*\)运算的幂等元, 则称\(*\)运算满足幂等律.

例如, 对于实数集\(R\)上的乘法运算”\({\times}\)“,1是幂等元, 因为\(1{\times}1=1\).

对于实数集\(R\)上的加法运算”+“, 0是幂等元, 因为0+0=0.

但这两个运算都不满足幂等律.

再如, 对任一集合\(S\)的幂集\(P(S)\)来说, “\(\cap\)”运算和”\(\cup\)“运算都满足幂等律.

因为\(P(S)\)中任何一个元素都是幂等元, 即对任意的\(A{\in}P(S)\),有\[A{\cup}A=A,\,\,A{\cap}A=A.\]

定义: 设\(*\),\(\Delta\)是定义在集合\(A\)上的两个二元运算, 对于任意的\(a,b,c{\in}A\),若有:

  1. \(a*(b{\Delta}c)=(a*b){\Delta}(a*c)\)

  2. \((b{\Delta}c)*a=(b*a){\Delta}(c*a)\)

则称\(*\)运算对于\(\Delta\)运算是可分配的(Distributive), 或称\(*\)对\(\Delta\)满足分配律.

如果只有(1)式成立, 那么称\(*\)对\(\Delta\)满足左分配律.

如果只有(2)式成立, 那么称\(*\)对\(\Delta\)满足右分配律.

设集合\(S=\{0,1\}\),\(S\)中定义的两个二元运算\(*\)和\(\Delta\)定义为:

  \[ \begin{array}{ccc} * & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ \end{array} \]

  \[ \begin{array}{ccc} \Delta & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ \end{array} \]

问: \(*\)运算对\(\Delta\)运算是否可分配？

 

解: \[1*\{0{\Delta}1\}=1*0=1\] \[(1*0)\Delta(1*1)=1{\Delta}0=0\]

\[1*(0{\Delta}1{\neq}(1*0)\Delta(1*1)\] 故\(*\)运算对\(\Delta\)运算是不可分配的.

例: 实数集合\(R\)上定义的乘法运算\(\times\)对于加法+运算满足分配律, 但加法+运算对于乘法运算\(\times\)不满足分配律.

 

定义: 设\(*\),\(\Delta\)是定义在集合\(A\)上的两个二元运算, 对于任意的\(a,b{\in}A\),若有:

  1. \(a*(a{\Delta}b)=a\)

  2. \((a{\Delta}b)*a=a\)

则称\(*\)运算对于\(\Delta\)运算是可吸收的(Absorptive),或称\(*\)对\(\Delta\)满足吸收律.

若只有(1)式成立, 则称\(*\)对\(\Delta\)是左吸收的.

若只有(2)式成立, 则称\(*\)对\(\Delta\)是右吸收的.

对任一集合\(S\)的幂集\(P(S)\)来说, “\(\cap\)”运算对”\(\cup\)“运算满足吸收律;”\(\cup\)“运算对”\(\cap\)“运算也满足吸收律.

因为\(P(S)\)中任何元素\(A,B{\in}P(S)\),有: \(A{\cup}(A{\cap}B)=A,\,\,\,A{\cap}(A{\cup}B)=A.\)

特殊元

定义: 设\(*\)是定义在集合\(S\)上的一个二元运算:

  1. 若存在一个元素\(e_l{\in}S\),使得对于任意的\(x{\in}S\), 都有\(e_l*x=x\),则称\(e_l\)是集合\(S\)上关于\(*\)运算的一个左单位元(左幺元).

  2. 若存在一个元素\(e_r{\in}S\),使得对于任意的\(x{\in}S\), 都有\(x*e_r=x\),则称\(e_r\)是集合\(S\)上关于\(*\)运算的一个右单位元(右幺元).

  3. 若存在一个元素\(e{\in}S\),并且\(e\)既是左单位元又是右单位元,则称\(e\)是集合\(S\)上关于\(*\)运算的一个单位元(幺元).

例如, 用\(R^*\)表示全体非零实数集合, 在\(R^*\)上定义二元运算\({\circ}\)为: \(a{\circ}b=a\).

显然, 它无左单位元, 而\(R^*\)中的任意一个元素都是右单位元.

若定义二元运算\(\circ\)为: \(a{\circ}b=b\).

显然, 它无右单位元, 而\(R^*\)中的任意一个元素都是左单位元.

例如, \(N\)是自然数集合, \(+\)是数的加法运算, 显然, \(N\)关于加法运算\(+\)的单位元是0, 因为对任意\(a{\in}N\), 有\(a+0=0+a\).

定理: 设\(*\)是定义在集合\(S\)上的一个二元运算, 若\(*\)运算同时存在一个左单位元\(e_l\)和一个右单位元\(e_r\), 则有\[e_l=e_r=e,\] 且\(e\)是集合\(S\)中关于\(*\)运算的唯一的一个幺元.

设集合\(S=\{\alpha,\beta,\gamma,\delta\}\),定义在\(S\)上的一个二元运算如下, 试指出个运算的左, 右单位元和单位元.

  \[ \begin{array}{ccccc} * & \alpha & \beta & \gamma & \delta\\ \hline \alpha & \delta & \alpha & \beta & \gamma\\ \beta & \alpha & \beta & \gamma & \delta\\ \gamma & \alpha & \beta & \gamma & \gamma\\ \delta & \alpha & \beta & \gamma & \delta\\ \end{array} \]

 

解: 对于\(*\)运算, \(\beta\)和\(\delta\)是左单位元, 没有右单位元. 无单位元.

设集合\(S=\{\alpha,\beta,\gamma,\delta\}\), 定义在\(S\)上的另一个二元运算如下, 试支出个运算的左, 右单位元和单位元.

  \[ \begin{array}{ccccc} \Delta & \alpha & \beta & \gamma & \delta\\ \hline \alpha & \alpha & \beta & \delta & \gamma\\ \beta & \beta & \alpha & \gamma & \delta\\ \gamma & \gamma & \delta & \alpha & \beta\\ \delta & \delta & \delta & \beta & \gamma\\ \end{array} \]

 

解: 对于\(\Delta\)运算, \(\alpha\)是右单位元, 没有左单位元. 无单位元.

例: 设集合\(S\)={浅色, 深色}, 定义在\(S\)上的二元运算*如下, 试指出单位元.

  \[ \begin{array}{ccc} * & 浅色 & 深色\\ \hline 浅色 & 浅色 & 深色\\ 深色 & 深色 & 深色\\ \end{array} \]

 

解: 浅色是\(S\)关于*运算的单位元.

定义: 设*是定义在集合\(S\)上的一个二元运算.

  1. 若存在一个元素\(\theta_l{\in}S\), 使得对于任意的\(x{\in}S\), 都有\(\theta_l*x=\theta_l\), 则称\(\theta_l\)是集合\(S\)上关于\(*\)运算的一个左零元.

  2. 若存在一个元素\(\theta_r{\in}S\), 使得对于任意的\(x{\in}S\), 都有\(x*\theta_r=\theta_r\), 则称\(\theta_r\)是集合\(S\)上关于\(*\)运算的一个右零元.

  3. 若存在一个元素\(\theta{\in}S\), 并且\(\theta\)既是左零元又是右零元, 则称\(\theta\)是集合\(S\)上关于\(*\)运算的一个零元.

例: 设集合\(S\)={浅色, 深色}, 定义在\(S\)上的二元运算*如下, 试指出零元.

  \[ \begin{array}{ccc} * & 浅色 & 深色\\ \hline 浅色 & 浅色 & 深色\\ 深色 & 深色 & 深色\\ \end{array} \]

 

解: 深色是\(S\)关于*运算的零元.

设集合\(S\)={1,2,3}, 定义在\(S\)上的二元运算如下, 试指出各运算的左, 右零元.

  \[ \begin{array}{ccc} * & 1 & 2 & 3\\ \hline 1 & 2 & 2 & 1\\ 2 & 3 & 2 & 2\\ 3 & 1 & 2 & 2\\ \end{array} \]

 

\[ \begin{array}{ccc} + & 1 & 2 & 3\\ \hline 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 2 & 2\\ 3 & 3 & 3 & 3\\ \end{array} \]

\[ \begin{array}{ccc} \times & 1 & 2 & 3\\ \hline 1 & 2 & 1 & 3\\ 2 & 3 & 2 & 3\\ 3 & 3 & 3 & 3\\ \end{array} \]  

解: 对*运算来说, 2是右零元, 没有左零元. 对于+运算来说, 1和3都是左零元, 无右零元. 对于\(\times\)运算来说, 3既是左零元又是右零元, 因此3是\(\times\)运算的零元.

定理: 设\(*\)是定义在集合\(S\)上的一个二元运算, 若\(*\)运算同时存在一个左零元\(\theta_l\)和一个右零元\(\theta_r\),则有: \[\theta_l=\theta_r=\theta\] 并且\(\theta\)是集合\(S\)中关于\(*\)运算的唯一的一个零元.

定义: 设\(*\)是定义在集合\(S\)上的一个二元运算, \(e\)是集合\(S\)上关于\(*\)运算的单位元, 对于\(x{\in}S\):

  1. 若存在一个元素\(b_l{\in}S\),使得\(b_l*x=e\),则称\(x\)是左可逆的, 并称\(b_l\)是\(x\)的一个左逆元.

  2. 若存在一个元素\(b_r{\in}S\),使得\(x*b_r=e\),则称\(x\)是右可逆的, 并称\(b_r\)是\(x\)的一个右逆元.

  3. 若存在一个元素\(b{\in}S\),使得\(x*b=b*x=e\),则称\(x\)是可逆的, 并称\(b\)是\(x\)的一个逆元.

例如, 实数集\(R\)上的普通乘法\(\times\),其单位元是1.

对于任意的\(a{\in}R\), 且\(a{\neq}0\), 有\(1/a{\in}R\), 使\(a{\times}1/a=1/a{\times}a=1\). 故\(R\)中的非零实数对于\(\times\)运算都是可逆的.

例: 设集合\(S=\{\alpha,\beta,\gamma,\delta,\zeta\}\),\(*\)是定义在\(S\)上的二元运算如下, 试指出\(S\)中各元素的左, 右逆元(如果有的话).

 

\[ \begin{array}{cccccc} * & \alpha & \beta & \gamma & \delta & \zeta \\ \alpha & \alpha & \beta & \gamma & \delta & \zeta\\ \beta & \beta & \delta & \alpha & \gamma & \delta\\ \gamma & \gamma & \alpha & \beta & \alpha & \beta\\ \delta & \delta & \alpha & \gamma & \delta & \gamma\\ \zeta & \zeta & \delta & \alpha & \gamma & \zeta\\ \end{array} \]

解:

单位元是\(\alpha\).

 

\[ \begin{array}{ccc} & 左 & 右\\ \beta & \gamma,\delta & \gamma \\ \gamma & \beta,\zeta & \beta,\delta \\ \delta & \gamma & \beta \\ \zeta & 无 & \gamma \\ \end{array} \]

例: 设集合\(S\)={1,2,3,4},\(*\)是定义在\(S\)上的一个二元运算如下, 试指出\(S\)中各元素的左, 右逆元(如果有的话).

  \[ \begin{array}{ccccc} * & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 4 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 4 & 1 \\ \end{array} \]

解: 3是单位元, 即\(e=3\).

1的左逆元是4,右逆元是2和4.

2的左逆元是1,右逆元不存在.

3的左逆元是3,右逆元是3.

4的左逆元是1,右逆元是1.

1和4互为逆元,即

\(1^{-1}=4\),\(4^{-1}=1\).

定理:设\(*\)是定义在集合\(S\)上的一个满足结合律的二元运算, \(e\)是集合\(S\)上关于\(*\)运算的单位元. 若元素\(x{\in}S\)同时存在左逆元\(x_l^{-1}\)和右逆元\(x_r^{-1}\),则有\(x_l^{-1}=x_r^{-1}=x^{-1}\),并且\(x^{-1}\)是\(x\)的唯一的一个逆元.

证明: 由\(x_l^{-1}\),\(x_r^{-1}\)分别是\(x\)的左, 右逆元及满足结合律, 有:

\[x_l^{-1}=x_l^{-1}*e=x_l^{-1}*(x*x_r^{-1})\] \[=(x_l^{-1}*x)*x_r^{-1}=e*x_r^{-1}=x_r^{-1}\] 因此, \(x_l^{-1}=x_r^{-1}=x^{-1}\)是\(x\)的一个逆元.

设\(x^\prime\)是\(x\)的另一个逆元, 则有

\[x^{-1}=e*x^{-1}=(x^\prime*x)*x^{-1}\] \[=x^\prime*(x*x^{-1})=x^\prime*e=x^\prime\] 所以, \(x\)的逆元是唯一的.

设\(*\)是定义在集合\(S\)上的一个二元运算, 对于任意的\(a,b,c{\in}A\):

  1. 若\(a*b=a*c\),且\(a{\neq}0\),必有\(b=c\)

  2. 若\(b*a=c*a\),且\(a{\neq}0\),必有\(b=c\)

则称\(*\)运算是可消去的, 或称\(*\)满足消去律.

若只有(1)式成立,则称\(*\)是左可消去的; 若只有(2)式成立,则称\(*\)是右可消去的.

例: 实数集合\(R\)上的加法\(+\)和乘法\(\times\)是满足消去律的.

例: 幂集\(P(S)\)上的并集和交集运算不满足消去律. 因为对\({\forall}A,B,C{\in}P(S)\), 由\(A{\cup}B=A{\cup}C\), 不能得出\(B=C\). 由\(A{\cap}B=A{\cap}C\), 也不能得出\(B=C\).

例: 对有理数集\(Q\),定义\(*\)运算为: 任意的\(x,y{\in}Q\),\(x*y=x+y-xy\), 则\(*\)是可消去的.

证明: 显然,\(*\)的零元为1.

对任意的\(x,y,z{\in}Q\), 若\(x*y=x*z\),且\(x{\neq}1\),即\(x+y-xy=x+z-xz\), 则: \[(x-1)(y-z)=0,\]有\(y=z\)(因\(x{\neq}1\)). 故\(*\)是可消去的.

 

定理: 设\(*\)是定义在集合\(S\)上的一个二元运算且\(|S|>1\), 若\(*\)运算同时存在幺元\(e\)和零元0, 则必有\(e{\neq}0\).

定理: 设\(*\)是定义在集合\(S\)上的一个二元运算, \(e\)是\(S\)上关于\(*\)运算的幺元, 若元素\(x{\in}S\)存在逆元\(x^{-1}\), 则\(x^{-1}\)也是可逆的, 且\((x^{-1})^{-1}=x\).

定理: 零元不存在逆元.

代数系统

定义: 设\(A\)是一个非空集合, \(*_1,*_2,\cdots,*_r\)是代数运算. 称集合\(A\)和代数运算\(*_1,*_2,\cdots,*_r\)所组成的结构为代数系统, 记作\[U={\langle}A,\mathsf{*}_1,\mathsf{*}_2,\cdots,\mathsf{*}_r{\rangle},\]集合\(A\)称为代数系统的定义域(Domain). 当\(A\)为有限集时, 称\(U\)为有限代数系统.

例如, \({\langle}Z,+{\rangle}\),\({\langle}Z,\times{\rangle}\),\({\langle}Z,+,\times{\rangle}\)都是代数系统.

例: 在任意集合\(S\)的幂集\(P(S)\)中, 考虑集合的补”\(\sim\)“,并”\(\cup\)“和交”\(\cap\)“运算, 则\({\langle}P(S),\sim,\cup,\cap{\rangle}\)构成一个代数系统. 这个系统称为集合代数.

其中, “补”运算是一元运算, “并”运算和”交”运算都是二元运算.

例: \({\langle}N_6,\oplus_6{\rangle}\)是代数系统. 其中\(N_6=\{0,1,2,3,4,5\}\). 对任意\(a,b{\in}N_6\),\(a{\oplus}_6b=(a+b)\,mod\,6\)

 

解: 显然对任意\(a,b{\in}N_6\), \(a{\oplus}_6b=(a+b)\,mod\,6{\in}N_6\). 故\(\oplus_6\)是\(N_6\)上的代数运算, \({\langle}N_6,\oplus_6{\rangle}\)是代数系统.

  \[ \begin{array}{ccccccc} \mathsf{\oplus}_6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0\\ 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1\\ 3 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1 & 2\\ 4 & 4 & 5 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 5 & 5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \end{array} \]

例: 设集合\(S\)={0,1},\(S\)上的+运算和\(*\)运算的定义如下:

  \[ \begin{array}{ccc} + & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ \end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \begin{array}{ccc} * & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ \end{array} \]

 

则\({\langle}\{0,1\},+,*{\rangle}\)是一个代数系统.

定义: 设有代数系统\(U={\langle}A,*_1,*_2,\cdots,*_r{\rangle}\),\(X\)是\(A\)的非空子集, 若运算\(*_1,*_2,\cdots,*_r\)在\(X\)上是封闭的, 则称代数系统 \[V={\langle}X,\mathsf{*}_1,\mathsf{*}_2,\cdots,\mathsf{*}_r{\rangle}\] 是\(U\)的子代数,同时称\(U\)是\(V\)的扩大. 若\(X\)是\(A\)的真子集, 则\(V\)为\(U\)的真子代数.

例如: 若设\(E\),\(Z\)和\(R\)分别是偶数集合, 整数集合和实数集合, +和\(\times\)是普通的加和乘法运算, 则:

\({\langle}Z,+,\times{\rangle}\)是\({\langle}R,+,\times{\rangle}\)的子代数.

\({\langle}E,+,\times{\rangle}\)是\({\langle}Z,+,\times{\rangle}\)的子代数.

代数系统的同态与同构

定义: 设\(U={\langle}X,*_1,*_2,\cdots,*_r{\rangle}\), \(V={\langle}Y,+_1,+_2,\cdots,+_r{\rangle}\)是两个代数系统, 若\(*_i\)和\(+_i\)都是\(k_i\)元运算, \(i=1,2,\cdots,r\), 则说这两个代数系统是同一类型的.

例如, 设\(N\)和\(Z\)分别是自然数集合和整数集合, +,\(\times\)和\(\sim\)是普通的加法, 乘法和求相反数运算. 则 \({\langle}N,+{\rangle}\)和\({\langle}Z,\times{\rangle}\)是两个同类型的代数系统.

而: \({\langle}N,+,\times{\rangle}\)和\({\langle}Z,+{\rangle}\)不是同类型的. \({\langle}N,+{\rangle}\)和\({\langle}Z,\sim{\rangle}\)也不是同类型的.

 

例如, 设\(Z\)是自然数集合, \(R^+\)是正实数集合, \(\sim\)和\(/\)是求数的相反数和倒数运算, 则\({\langle}Z,\sim{\rangle}\)和\({\langle}R^+,/{\rangle}\)是两个同类型的代数系统.

定义: 设\(U={\langle}X,*{\rangle}\),\(V={\langle}Y,+{\rangle}\)是两个同一类型的代数系统, \(*\)和+都是二元运算, \(f\)是从\(X\)到\(Y\)的一个函数映射, 若对于任意的\(x_1,x_2{\in}X\),都有 \[f(x_1*x_2)=f(x_1)+f(x_2)\] 则称\(f\)是从代数系统\(U\)到代数系统\(V\)的一个同态映射, 或称代数系统\(U\)和代数系统\(V\)同态.

当\(f\)分别是单射, 满射和双射时, 称\(f\)为单同态映射, 满同态映射和同构映射.

例: 设代数系统\(U={\langle}M_n(R),*{\rangle}\)和\(V={\langle}R,\times{\rangle}\). 其中 \(R\)是实数集, \(M_n(R)\)为实\(n{\times}n\)阶方阵集合, \(U\)和\(V\)中代数运算\(*\)和\(\times\)分别为矩阵乘法和数的乘法.

函数\(f:M_n(R){\rightarrow}R\)定义为对\({\forall}A{\in}M_n(R)\), 有: \(f(A)=|A|\). 问\(f\)是否是\(U\)到\(V\)的同态映射, 是哪种同态？

解: 对于任意的\(A,B{\in}M_n(R)\),有: \[f(A*B)=|A*B|=|A|\times|B|=f(A){\times}f(B)\] 故\(f\)是同态映射.

\(f\)是满射但不是单射, 故\(f\)是从\(U\)到\(V\)的满同态映射.

例: 设代数系统\(U={\langle}R,+{\rangle}\)和\(V={\langle}R,\times{\rangle}\). 其中,\(R\)是实数集, \(+\)和\(\times\)是普通的加法, 乘法运算. 函数\(f:R{\rightarrow}R\)定义为: \({\forall}x{\in}R\),有 \[f(x)=5^x\] 求证: \(f\)是一个同态映射且是单同态.

证明: 对于任意的\(x,y{\in}R\), 有 \[f(x+y)=5^{x+y}=5^x{\times}5^y=f(x){\times}f(y)\] 故\(f\)是同态映射. 而且\(f\)是\(R\)上的严格单调增函数, 故\(f\)是单射的. 所以, \(f\)是从\(U\)到\(V\)的单同态映射.

例: 设\(N\)是自然数集合, \(U={\langle}N,+{\rangle}\)和\(V={\langle}N_4,+_4{\rangle}\),函数\(f:N{\rightarrow}N_4\)定义为: 对\({\forall}x{\in}N\), \[f(x)=x\,mod\,4\] 求证: \(f\)是从\(U\)到\(V\)的满同态映射.

证明: 对于任意的\(x,y{\in}N\),有 \[f(x+y)=(x+y)\,mod\,4\] \[=(x\,mod\,4+y\,mod\,4)\,mod\,4\] \[=x\,mod\,4\mathsf{+}_4y\,mod\,4\] \[=f(x)\mathsf{+}_4f(y)\] 显然, \(f\)是满射的, 故\(f\)是从\(U\)到\(V\)的满同态映射.

如果代数系统\(U\)和代数系统\(V\)之间存在同构映射\(f\), 那么称代数系统\(U\)和代数系统\(V\)同构. 通常记作\(U{\cong}V\).

如果\(f\)是从代数系统\(U={\langle}X,*{\rangle}\)到\(U={\langle}X,*{\rangle}\)的同态映射, 则称\(f\)是自同态映射.

如果\(f\)是从代数系统\(U={\langle}X,*{\rangle}\)到\(U={\langle}X,*{\rangle}\)的同构映射, 则称\(f\)是自同构映射.

例如: \(U={\langle}Z,+{\rangle}\)时,\(f(x)=-x\)是一个自同构映射.

例: 设有代数系统\(U={\langle}R^+,\times{\rangle}\)和代数系统\(V={\langle}R,+{\rangle}\) 求证: \(U{\cong}V\).

证明: 设函数\(f:R^+{\rightarrow}R\),对\({\forall}x{\in}R^+\), \[f(x)=ln\,x\] 则对任意的\(x,y{\in}R^+\),有: \[f(x{\times}y)=ln(x{\times}y)=ln\,x+ln\,y=f(x)+f(y)\] 所以, \(f\)是\(U\)到\(V\)的一个同态映射.

对于任意\(x,y{\in}R^+\),若\(x{\neq}y\),则\(ln\,x{\neq}ln\,y\), \(f(x)\)是单射的.

反之, 对\(R\)中的任意一个\(y\),\(R^+\)中也存在唯一的一个\(x=e^y\),使\(y=f(x)=ln\,x\),\(f\)是满射的.

故\(f\)是双射函数. 所以\(f\)是\(U\)到\(V\)的一个同构映射,即\(U{\cong}V\).

定义: 设\(U={\langle}X,\circ,\vartriangle{\rangle}\)和代数系统\(V={\langle}Y,\bullet,\blacktriangle{\rangle}\)是两个同一类型的代数系统, \(\circ\),\(\vartriangle\),\(\bullet\),\(\blacktriangle\)都是二元运算, 映射 \(f:X{\rightarrow}Y\),若对\({\forall}x_1,x_2{\in}X\),都有: \[f(x_1{\circ}x_2)=f(x_1){\bullet}f(x_2),\,\,f(x_1{\vartriangle}x_2)=f(x_1){\blacktriangle}f(x_2)\] 则称\(f\)是从代数系统\(U\)到代数系统\(V\)的一个同态映射. 或称代数系统\(U\)和代数系统\(V\)同态.

若\(f\)分别是单射, 满射和双射, 分别称\(f\)为单同态映射, 满同态映射和同构映射.

例: 给定代数系统\(U={\langle}Z,\times,+{\rangle}\)和代数系统\(V={\langle}N_m,\times_m,+_m{\rangle}\). 其中, \(N_m=\{0,1,2,\cdots,m-1\}\).\(N_m,\times_m\)为模等乘, 即: 对任意\(x_1,x_2{\in}Z\),有:

\[x_1\mathsf{+}_mx_2=(x_1+x_2)\,mod\,m,\,\,x_1\mathsf{\times}_mx_2=(x_1{\times}x_2)\,mod\,m\] 设函数\(f:Z{\rightarrow}N_m\), 对任意\(x{\in}Z\), \(f(x)=x\,mod\,m\).

求证: \(f\)是从\(U\)到\(V\)的同态映射.

证明: 对任意\(x_1,x_2{\in}Z\),有 \[f(x_1+x_2)=(x_1+x_2)\,mod\,m=x_1\,mod\,m{\mathsf{+}_m}x_2\,mod\,m\] 即: \[f(x_1+x_2)=f(x_1){\mathsf{+}_m}f(x_2).\] \[f(x_1{\times}x_2)=(x_1{\times}x_2)\,mod\,m=x_1\,mod\,m{\mathsf{\times}_m}x_2\,mod\,m\] 即: \[f(x_1{\times}x_2)=f(x_1){\mathsf{\times}_m}f(x_2).\]

故: \(f\)是从\(U\)到\(V\)的同态映射.

定义: 设\(U={\langle}X,*_1,*_2,\cdots,*_r{\rangle}\)和\(V={\langle}Y,+_1,+_2,\cdots,+_r{\rangle}\)是两个同一类型的代数系统, \(*_i\)和\(+_i\)都是\(k_i\)元运算, \(i=1,2,\cdots,r\),\(f\)是从\(X\)到\(Y\)的一个函数映射. 对于\(k_i\)元运算\(i=1,2,\cdots,r\)来说, 若对于任意的\(x_1,x_2,\cdots,x_{k_i}{\in}X\),都有

\[f(\mathsf{*}_i(x_1,x_2,\cdots,x_{k_i}))=\mathsf{+}_i(f(x_1),f(x_2),\cdots,f(x_{k_i}))\] 则称\(f\)是从代数系统\(U\)到代数系统\(V\)的一个同态映射, 或称代数系统\(U\)和代数系统\(V\)同态.

定理: 给定代数系统:

\(U={\langle}X,+_1,+_2,\cdots,+_r{\rangle}\)和\(V={\langle}Y,*_1,*_2,\cdots,*_r{\rangle}\), 其中\(+_i\)和\(*_i\)(\(i=1,2,\cdots,n\))都是二元运算.

若存在同构映射\(f:X{\rightarrow}Y\),使得对于任意的\(a,b{\in}X\),有 \[f(a{\mathsf{+}_i}b)=f(a){\mathsf{*}_i}f(b)\,\,(i=1,2,\cdots,n)\] 则:

  1. 若\(+_i\)是可交换的, 则\(*_i\)也是可交换的.

  2. 若\(+_i\)是可结合的, 则\(*_i\)也是可结合的.

  3. 若\(+_i\)存在单位元\(e_i\), 则\(*_i\)也存在单位元\(f(e_i)\).

  4. 若\(+_i\)存在零元\(\mathbf(0)_i\), 则\(*_i\)也存在零元\(f(\mathbf(0)_i)\).

  5. 对于运算\(+_i\), 若\(x{\in}X\)存在逆元\(x^{-1}\), 则对于运算\(*_i\),\(f(x)\)也存在逆元\(f(x^{-1})\).

  6. 若运算\(+_i\)对运算\(+_j\)是可分配的, 则运算\(*_i\)对运算\(*_j\)也是可分配的.(\(i,j{\in}\{1,2,\cdots,n\}\), \(i{\neq}j\))

定理: 若\(f\)是从\({\langle}A,*{\rangle}\)到\({\langle}B,\circ{\rangle}\)的同态映射, \(g\)是从\({\langle}B,\circ{\rangle}\)到\({\langle}C,\odot{\rangle}\)的同态映射. 则复合函数\(f{\cdot}g\)是从\({\langle}A,*{\rangle}\)到\({\langle}C,\odot{\rangle}\)的同态映射. 其中\(*,\circ,\odot\)为二元运算.

证明: 对任意\({\forall}x,y{\in}A\):

\[f{\cdot}g(x*y)=g(f(x*y))=g(f(x){\circ}f(y))\] \[=g(f(x)){\odot}g(f(y))=(f{\cdot}g)(x){\odot}(f{\cdot}g)(y)\]

则复合函数\(f{\cdot}g\)是从\({\langle}A,*{\rangle}\)到\({\langle}C,\odot{\rangle}\)的同态映射.

定理: 给定代数系统\(U={\langle}X,*{\rangle}\)和\(V={\langle}Y,\circ{\rangle}\),函数\(f:X{\rightarrow}Y\)是从\(U\)到\(V\)的同态映射, 则代数系统\(V^\prime={\langle}f(X),\circ{\rangle}\)是\(V\)的子代数, 并称\(V^\prime\)是在\(f\)作用下\(U\)的同态像.

同余关系与商代数系统

同余关系

定义: 设\(*\)是定义在集合\(A\)上的一个二元运算, \(R\)是\(A\)上的一个等价关系. 如果对于任意的\(x_1,x_2{\in}A\),\(y_1,y_2{\in}A\),都有: \[{\langle}x_1,y_1{\rangle}{\in}R\,{\wedge}{\langle}x_2,y_2{\rangle}{\in}R\,{\Rightarrow}\,{\langle}x_1*x_2,y_1*y_2{\rangle}{\in}R\]

那么称关系\(R\)对于二元运算\(*\)满足代换性质.

定义: 设有代数系统\(U={\langle}A,*{\rangle}\),其中, \(*\)是定义在集合\(A\)上的二元运算, \(R\)是\(A\)上的一个等价关系. 若\(R\)对于\(A\)上的\(*\)运算满足代换性质, 则称\(R\)为集合\(A\)上关于\(*\)运算的同余关系(Congruence relation). 此时, \(R\)的等价类为同余类(Congruence classes).

注: 也即具有代换性质的等价关系称为同余关系.

例: 设有代数系统\(U={\langle}Z,+{\rangle}\), 其中, \(Z\)是整数集合, \(+\)是通常的加法运算, \(Z\)上的等价关系\(R\)定义为: 对于任意的\(x,y{\in}Z\),\({\langle}x,y{\rangle}{\in}R\)当且仅当\(x=y\),证明\(R\)是一个同余关系.

证明: 对于任意的\(x_1,x_2{\in}Z\), \(y_1,y_2{\in}Z\),

若: \({\langle}x_1,y_1{\rangle}{\in}R\),\({\langle}x_2,y_2{\rangle}{\in}R\), 则有: \(x_1=y_1\),\(x_2=y_2\).

于是有: \(x_1+x_2,y_1+y_2{\in}Z\),且\(x_1+x_2=y_1+y_2\).

从而有: \({\langle}x_1+x_2,y_1+y_2{\rangle}{\in}R\).

所以, \(R\)是\(U\)上的同余关系.

例: 设有代数系统\(V={\langle}S,+{\rangle}\),\(S=\{a,b,c,d\}\),\(+\)运算的定义如下:

\[ \begin{array}{ccccc} + & a & b & c & d \\ a & a & a & d & c \\ b & b & a & d & a \\ c & c & b & a & b \\ d & c & d & b & a \\ \end{array} \] 对于\(S\)上的等价关系: \[R=\{{\langle}a,a{\rangle},{\langle}b,b{\rangle},{\langle}c,c{\rangle},{\langle}d,d{\rangle}\] \[,{\langle}a,b{\rangle},{\langle}b,a{\rangle},{\langle}c,d{\rangle},{\langle}d,c{\rangle}\}\] 问\(R\)是否是\(V\)上的同余关系？

解: 对于\(+\)运算,取 \[{\langle}a,b{\rangle},{\langle}c,d{\rangle}{\in}R\] 但是 \[{\langle}a+c,b+d{\rangle}={\langle}d,a{\rangle}{\notin}R\] 故\(R\)对\(+\)运算不满足代换性质, 所以\(R\)不是\(V\)上的同余关系.

同余关系一定是等价关系. 但这个例子说明, 等价关系未必是同余关系.

定理: 设\(f\)是代数系统\(U={\langle}A,*{\rangle}\)到代数系统\(V={\langle}B,\#{\rangle}\)的同态映射, \(*\)和\(\#\)是\(A\)和\(B\)上的二元运算, \(R\)是\(A\)上的二元关系: \({\langle}x,y{\rangle}{\in}R\)当且仅当\(f(x)=f(y)\). 则\(R\)是\(A\)上的一个同余关系.

称\(R\)为由同态映射\(f\)诱导的同余关系.

商代数

定义: 设\(R\)是代数系统\(U={\langle}X,*{\rangle}\)上的一个同余关系, \(*\)是定义再集合\(X\)上的二元运算. 构成一个代数系统\(V={\langle}X/R,\odot{\rangle}\),其中

  1. \(X/R=\{[x]_R|x{\in}X\}\)

  2. 对于任意的\([x]_R,[y]_R{\in}X/R\)

\[ [x]_R\odot[y]_R=[x*y]_R \]

称代数系统\(V\)到\(U\)关于\(R\)的商代数系统, 简称商代数, 记作\(U/R\).

例: 设有代数系统\(U={\langle}Z,+{\rangle}\),其中, \(Z\)是整数集合, +是普通加法, \(R\)是模4同余关系, 求商代数\(U/R\).

解: 即构造: \(U/R={\langle}Z/R,\odot{\rangle}\). \[R=\{{\langle}a,b{\rangle}{\in}Z,a{\equiv}b\,mod\,4\}\] 商集: \(Z/R=\{[0]_R,[1]_R,[2]_R,[3]_R\}\), 其中:

\[[0]_R=\{\cdots,-8,-4,0,4,8,\cdots\}\] \[[1]_R=\{\cdots,-7,-3,1,5,9,\cdots\}\] \[[2]_R=\{\cdots,-6,-2,2,6,10,\cdots\}\] \[[3]_R=\{\cdots,-5,-1,3,7,11,\cdots\}\]

构造: \(U/R={\langle}Z/R,\odot{\rangle}\).

\(\odot\)运算定义为: 对于任意的\([x]_R,[y]_R{\in}Z/R\)

\[[x]_R{\odot}[y]_R=[x+y]_R=[(x+y)\,mod\,4]_R\] 由此得到的\(\odot\)运算的运算表:

\[ \begin{array}{ccccc} \odot & [0]_R & [1]_R & [2]_R & [3]_R\\ \,[0]_R & [0]_R & [1]_R & [2]_R & [3]_R\\ \,[1]_R & [1]_R & [2]_R & [3]_R & [0]_R\\ \,[2]_R & [2]_R & [3]_R & [0]_R & [1]_R\\ \,[3]_R & [3]_R & [0]_R & [1]_R & [2]_R\\ \end{array} \]

 

于是, 得到\(U\)对\(R\)的商代数\[U/R={\langle}Z/R,\odot{\rangle}.\]

定义: 设\(R\)是集合\(A\)上的一个等价关系, 若有函数\(f:A{\rightarrow}A/R\): \[{\forall}x{\in}A,\,\,\,f(x)=[x]_R\] 则称\(f\)是从集合\(A\)到商集\(A/R\)的正则映射或规范映射.

 

例: 设\(A=\{a,b,c,d\}\), \(R\)是\(A\)中的等价关系, 并且 \[R=\{{\langle}a,a{\rangle},{\langle}a,b{\rangle},{\langle}b,a{\rangle},{\langle}b,b{\rangle} \]

\[{\langle}c,c{\rangle},{\langle}c,d{\rangle},{\langle}d,c{\rangle},{\langle}d,d{\rangle}\}\]

求正则映射\(f\).

解: 因为\([a]_R=[b]_R=\{a,b\}\), \([c]_R=[d]_R=\{c,d\}\),

所以商集: \(A/R=\{\{a,b\},\{c,d\}\}\)

于是有正则映射:

\(f:A{\rightarrow}A/R\),

\(f(a)=f(b)=\{a,b\}\),

\(f(c)=f(d)=\{c,d\}\),

定理: 若\(R\)是代数系统\(U={\langle}A,*{\rangle}\)上的同余关系, 其中\(*\)是二元运算, \(U\)对\(R\)的商代数\(U/R={\langle}A/R,\odot{\rangle}\), 则正则映射

\[f:A{\rightarrow}A/R\]

是从\(U\)到\(V\)的同态映射.

此时称\(f\)为由同余关系\(R\)诱导出的同态映射.

定理: 若\(f\)是从代数系统\(U={\langle}A,*{\rangle}\)到\(V={\langle}B,\circ{\rangle}\)的同态映射, \(R\)是\(f\)诱导的\(U\)上的同余关系. 其中, \(*\)和\(\circ\)是二元运算.

则在商代数\(U/R={\langle}A/R,\odot{\rangle}\)与同态像\(V^\prime={\langle}f(A),\circ{\rangle}\)之间存在同构映射

\(g:A/R{\rightarrow}f(A)\),

即代数系统\({\langle}A/R,\odot{\rangle}\)与代数系统\(V^\prime={\langle}f(A),\circ{\rangle}\)同构.