函 数

主讲教师

李 辉

基本概念

定义: 设\(A\)和\(B\)是任意给定的两个集合, \(f\)是从\(A\)到\(B\)的二元关系.

若对于任意的\(x{\in}A\), 存在唯一的\(y{\in}B\), 使得\({\langle}x, y{\rangle}{\in}f\), 则称关系\(f\)为从\(A\)到\(B\)的一个函数.记作\(f:A{\rightarrow}B\).

若有\({\langle}x, y{\rangle}{\in}f\), 则称\(x\)是原像(或自变量, 像源), \(y\)称为在\(f\)作用下\(x\)的像(函数值, 像点).一般用\(y=f(x)\)表示\({\langle}x, y{\rangle}{\in}f\).

显然, \(f\)的定义域:\(D(f)=A\), 值域:\(V(f){\subseteq}B\). 并且:\(V(f)=\{y|y{\in}B{\wedge}{\exists}x{\in}A, y=f(x)\}\)

例: 设\(X=\{a, b, c, d\}\), \(Y=\{1, 2, 3, 4, 5\}\), \(f=\{{\langle}a, 1{\rangle}, {\langle}b, 3{\rangle}, {\langle}c, 4{\rangle}, {\langle}d, 4{\rangle}\}\), 则\(f\)是一个从\(X\)到\(Y\)的函数, 并且 \[D(f)=\{a, b, c, d\},\,\,V(f)=\{1, 3, 4\}\] \[f(a)=1, f(b)=3, f(c)=4, f(d)=4.\]

二元关系和函数的区别如下:

  1. 函数的定义域必须等于\(A\).关系的定义域可以是\(A\), 也可以是\(A\)的一个真子集.

  2. 作为二元关系, 一个\(x\)可以对应多个不同的\(y\).而作为函数, 一个\(x\)只能对应一个\(y\).

所以说, 函数一定是二元关系, 而二元关系未必是函数.

例: 设\(X=\{1, 2, 3, 4\}, Y=\{a, b, c, d\}\). 下列关系中哪些是函数？哪些不是函数？

\[f_1=\{{\langle}1, a{\rangle}, {\langle}2, c{\rangle}, {\langle}3, b{\rangle}, {\langle}4, d{\rangle}\}\] \[f_2=\{{\langle}1, a{\rangle}, {\langle}2, b{\rangle}, {\langle}3, d{\rangle}, {\langle}4, b{\rangle}\}\] \[f_3=\{{\langle}1, a{\rangle}, {\langle}3, b{\rangle}, {\langle}4, d{\rangle}\}\] \[f_4=\{{\langle}1, a{\rangle}, {\langle}1, b{\rangle}, {\langle}2, b{\rangle}, {\langle}3, c{\rangle}, {\langle}4, d{\rangle}\}\]

解: \(f_1\)和\(f_2\)都是函数; \(f_3\)不是, 因为\(2{\in}X\), 但没有对应的\(y\)值; \(f_4\)也不是, 因为1对应了两个不同的值\(a\)和\(b\).

定理: 设\(A, B\)都是有限集, \(|A|=m, |B|=n\), 则从\(A\)到\(B\)共有\(n^m\)个不同的函数.

证明:因为任何一个从\(A\)到\(B\)的函数\(f\), 其定义域都是\(A\), 即\(f\)中共有\(m\)个序偶;

另外, 对于任意的\(x{\in}A\), 可以对应\(Y\)的\(n\)个元素中的任何一个.

因此, 从\(A\)到\(B\)共有\(n^m\)个不同的函数.

通常用\(B^A\)表示从\(A\)到\(B\)的所有不同函数构成的集合, 即: \[B^A =\{f|f:A{\rightarrow}B\}.\]

例: 设\(A=\{a, b, c\}, B=\{0, 1\}\), 求\(B^A\).

解: 从\(A\)到\(B\)共有\(2^3=8\)个不同的函数. 因此, \(B^A =\{f_0, f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6, f_7\}\).

其中: \[f_0=\{{\langle}a, 0{\rangle}, {\langle}b, 0{\rangle}, {\langle}c, 0{\rangle}\}\]

\[f_1=\{{\langle}a, 0{\rangle}, {\langle}b, 0{\rangle}, {\langle}c, 1{\rangle}\}\]

\[f_2=\{{\langle}a, 0{\rangle}, {\langle}b, 1{\rangle}, {\langle}c, 0{\rangle}\}\]

\[f_3=\{{\langle}a, 0{\rangle}, {\langle}b, 1{\rangle}, {\langle}c, 1{\rangle}\}\]

\[f_4=\{{\langle}a, 1{\rangle}, {\langle}b, 0{\rangle}, {\langle}c, 0{\rangle}\}\]

\[f_5=\{{\langle}a, 1{\rangle}, {\langle}b, 0{\rangle}, {\langle}c, 1{\rangle}\}\]

\[f_6=\{{\langle}a, 1{\rangle}, {\langle}b, 1{\rangle}, {\langle}c, 0{\rangle}\}\]

\[f_7=\{{\langle}a, 1{\rangle}, {\langle}b, 1{\rangle}, {\langle}c, 1{\rangle}\}\]

定义: 设\(f, g\)都是从\(A\)到\(B\)的函数, 它们有相同的定义域和值域, 并且对任意的\(x{\in}A\), 都有: \[f(x)=g(x)\] 则称函数\(f\)与\(g\)相等, 记作\(f=g\).

特殊函数

定义: 给定函数\(f:X{\rightarrow}Y\)

  1. 若\(V(f)=Y\), 则称\(f\)是满射的;

  2. 对任意的\(x_1, x_2{\in}X\), 当\(x_1{\neq}x_2\)时必有\(f(x_1){\neq}f(x_2)\) (或当\(f(x_1)=f(x_2)\)时必有\(x_1=x_2\)) , 则称\(f\)是单射的(一对一映射);

  3. 若\(f\)既是满射的又是单射的, 则称\(f\)为双射的(一一对应映射).

具有以上性质的函数分别为满射函数、单射函数和双射函数.

例: 设有如下4个函数:

\[f_1: \{a, b, c, d\} {\rightarrow}\{1, 2, 3\}, f_1=\{{\langle}a, 1{\rangle}, {\langle}b, 2{\rangle}, {\langle}c, 3{\rangle}, {\langle}d, 3{\rangle}\}\] \[f_2: \{a, b, c\}{\rightarrow}\{1, 2, 3, 4\}, f_2=\{{\langle}a, 1{\rangle}, {\langle}b, 2{\rangle}, {\langle}c, 3{\rangle}\}\] \[f_3: \{a, b, c\} {\rightarrow}\{1, 2, 3\}, f_3=\{{\langle}a, 1{\rangle}, {\langle}b, 2{\rangle}, {\langle}c, 3{\rangle}\}\] \[f_4: \{a, b, c\} {\rightarrow}\{1, 2, 3\}, f_4=\{{\langle}a, 1{\rangle}, {\langle}b, 1{\rangle}, {\langle}c, 3{\rangle}\}\]

则: \(f_1\)是满射的; \(f_2\)是单射的; \(f_3\)是双射的; \(f_4\)非满射非单射.

 

例: 设 \(f_1:Z{\rightarrow}Z\), 且\(f(x)=x+4\); \(f_2:N{\rightarrow}N\), 且\(f(x)=x+4\).

判断它们是什么函数.

解: \(f_1\)是双射函数; \(f_2\)是单射函数.

例: 对于给定的集合\(A\)和\(B\), 构造从\(A\)到\(B\)的双射函数\(f\).

(1)\(f: R{\rightarrow}R\), (2)\(g:[0, 1]{\rightarrow}[a, b]\).

解:

(1)令\(f:R{\rightarrow}R\), \(f(x)=x\). (2)令\(f:[0, 1]{\rightarrow}[a, b]\), \(f(x)=(b-a)x+a\).

 

设\(f:A{\rightarrow}B\), 当\(A, B\)都是有限集合时:

  1. \(f\)为满射的必要条件是\(|B|{\leq}|A|\);

  2. \(f\)为单射的必要条件是\(|A|{\leq}|B|\);

  3. \(f\)为双射的必要条件是\(|A|=|B|\).

定义: 设有函数\(f:A{\rightarrow}B\), 若存在某个\(c{\in}B\), 使得对任意的\(x{\in}A\), 都有\(f(x)=c\), 即\(V(f)=\{c\}\), 则称\(f\)为常值函数.

常值函数一般不是单射函数.

 

例: 设\(A=\{a, b, c\}, B=\{0, 1\}\).

函数\(f:A{\rightarrow}B\) 定义为: \(f(a)=f(b)=f(c)=1\). 即: \(f=\{{\langle}a, 1{\rangle}, {\langle}b, 1{\rangle}, {\langle}c, 1{\rangle}\}\)

函数\(g:A{\rightarrow}B\) 定义为: \(g(a)=g(b)=g(c)=0\). 即: \(g=\{{\langle}a, 0{\rangle}, {\langle}b, 0{\rangle}, {\langle}c, 0{\rangle}\}\).

则\(f, g\)都是常值函数.

例: 设\(f:N{\rightarrow}N\)定义为: \(f(x)=2\), 则\(f\)是常值函数.

定义: 若函数\(f:A{\rightarrow}A\), 对任意的\(x{\in}A\), 有: \(f(x)=x\), 即: \(f =\{{\langle}x, x{\rangle}|x{\in}A\}\). 则称\(f\)是恒等函数.记为\(I_A\).

恒等函数是双射函数.

例: 设\(A=\{a, b, c\}, B=\{1, 2, 3\}\), 判断下列函数中哪些是恒等函数？ \[f_1=\{{\langle}a, b{\rangle}, {\langle}b, c{\rangle}, {\langle}c, c{\rangle}\}\] \[f_2=\{{\langle}a, a{\rangle}, {\langle}b, b{\rangle}, {\langle}c, c{\rangle}\}\] \[f_3=\{{\langle}a, 1{\rangle}, {\langle}b, 2{\rangle}, {\langle}c, 3{\rangle}\}\] \[f_4=\{{\langle}1, 1{\rangle}, {\langle}2, 2{\rangle}, {\langle}3, 3{\rangle}\}\] \[f_5=\{{\langle}1, a{\rangle}, {\langle}2, a{\rangle}, {\langle}3, a{\rangle}\}\] \[f_6=\{{\langle}1, 2{\rangle}, {\langle}2, 1{\rangle}, {\langle}3, 3{\rangle}\}\]

解: \(f_2\)和\(f_4\)都是恒等函数.

函数的运算

定义: 设有函数\(f:X{\rightarrow}Y, g:Y{\rightarrow}Z\), 则 \[f{\cdot}g=\{{\langle}x, z{\rangle}|x{\in}X{\wedge}z{\in}Z{\wedge}{\exists}y{\in}Y, y=f(x){\wedge}z=g(y)\}\] 称为\(f\)和\(g\)的复合函数(合成函数).

显然, \(D(f{\cdot}g)=X, V(f{\cdot}g){\subseteq}Z\).

定理: 设\(f:X{\rightarrow}Y, g:Y{\rightarrow}Z\)是两个函数, 则\(f{\cdot}g是X{\rightarrow}Z\)的函数, 且对任意的\(x{\in}X\), 有: \[(f{\cdot}g)(x)=g(f(x))\]

例: 设有集合\(X=\{a, b, c\}, Y=\{\alpha, \beta\}, Z=\{0, 1\}\), 函数\(f:X{\rightarrow}Y\)定义为: \(f=\{{\langle}a, \alpha{\rangle}, {\langle}b, \alpha{\rangle}, {\langle}c, \beta{\rangle}\}\), 函数\(g:Y{\rightarrow}Z\)定义为:\(g=\{{\langle}\alpha, 0{\rangle}, {\langle}\beta, 1{\rangle}\}\). 求复合函数\(f{\cdot}g\).

解: \(f{\cdot}g =\{{\langle}a, 0{\rangle}, {\langle}b, 0{\rangle}, {\langle}c, 1{\rangle}\}\).

例: 设有集合\(A=\{1, 2, 3\}, B=\{p, q\}, C=\{a, b\}\),

函数\(f:A{\rightarrow}B\)定义为: \(f=\{{\langle}1, p{\rangle}, {\langle}2, p{\rangle}, {\langle}3, q{\rangle}\}\), 函数\(g:B{\rightarrow}C\)定义为: \(g=\{{\langle}p, b{\rangle}, {\langle}q, b{\rangle}\}\), 求复合函数\(f{\cdot}g\).

解: \[D(f{\cdot}g)=A, V(f{\cdot}g)\subseteq C, f{\cdot}g:A{\rightarrow}C\]

\[(f{\cdot}g)(1)=g{\cdot}(f(1))=g(p)=b\]

\[(f{\cdot}g)(2)=g{\cdot}(f(2))=g(p)=b\]

\[(f{\cdot}g)(3)=g{\cdot}(f(3))=g(q)=b\]

所以: \(f{\cdot}g =\{{\langle}1, b{\rangle}, {\langle}2, b{\rangle}, {\langle}3, b{\rangle}\}.\)

例: 设有集合\(X=\{1, 2, 3\}\), \(f, g\)都是定义在\(X\)上的函数, 并且: \[f=\{{\langle}1, 2{\rangle}, {\langle}2, 3{\rangle}, {\langle}3, 1{\rangle}\}\] \[g=\{{\langle}1, 2{\rangle}, {\langle}2, 3{\rangle}, {\langle}3, 3{\rangle}\}\] 求复合函数\(f{\cdot}g\)和\(g{\cdot}f\).

解: \[f{\cdot}g =\{{\langle}1, 3{\rangle}, {\langle}2, 3{\rangle}, {\langle}3, 2{\rangle}\}\] \[g{\cdot}f =\{{\langle}1, 3{\rangle}, {\langle}2, 1{\rangle}, {\langle}3, 1{\rangle}\}\] 显然\(f{\cdot}g{\neq}g{\cdot}f\).

复合函数不满足交换律.

定理: 函数的复合运算满足结合律.即若

\[f:X{\rightarrow}Y, g:Y{\rightarrow}Z, h:Z{\rightarrow}W\]都是函数, 则: \[f{\cdot}(g{\cdot}h)=(f{\cdot}g){\cdot}h\]

证明:对于任意的\(x{\in}X\), 由复合函数的定义, 有: \[f{\cdot}(g{\cdot}h)(x)=(g{\cdot}h)(f(x))\] \[=h(g(f(x)))\] \[=h{\cdot}((f{\cdot}g)(x))\] \[=(f{\cdot}g){\cdot}h(x)\] 所以 \(f{\cdot}(g{\cdot}h)=(f{\cdot}g){\cdot}h\)

由于函数复合满足结合律, 因此, 当有多个函数复合时, 为书写简洁起见, 往往省去括号.如: \(f{\cdot}(g{\cdot}h)\)或\((f{\cdot}g){\cdot}h\)就直接写成\(f{\cdot}g{\cdot}h\).

特别地, 当\(f\)是定义在某个集合\(X\)上的函数时, \(f\)可与其自身进行任意次复合. 归纳定义如下:

  1. \(f^0(x)=x, f^0=I_x\)

  2. \(f^{n+1}(x)= f^n {\cdot} f(x)= f(f^n(x))=f^n(f(x))\)

例: 设函数\(f:Z{\rightarrow}Z\), 定义为: \(f(i) =2 i+1\) 求\(f^3\).

解: \[f^3(i)=f^2(f(i))=f^2(2i+1)= f(f(2i+1))= f(2(2i+1)+1) = f(4i+3)=2(4i+3)+1=8i+7\] 故:\[f^3 =\{{\langle}i, j{\rangle}|i {\in}Z {\wedge}j=8i+7\}\]

定义: 给定函数\(f:X{\rightarrow}X\), 如有\(f^2=f\), 则称\(f\)是幂等函数.

例: 设\(A=\{0, 1, 2, 3\}\), 函数\(f:A{\rightarrow}A\)定义为: \[f(i) = i (mod 2)\] 问\(f\)是否是幂等函数？

解: \[f=\{{\langle}0, 0{\rangle}, {\langle}1, 1{\rangle}, {\langle}2, 0{\rangle}, {\langle}3, 1{\rangle}\}, \] \[f^2 =\{{\langle}0, 0{\rangle}, {\langle}1, 1{\rangle}, {\langle}2, 0{\rangle}, {\langle}3, 1{\rangle}\} = f, \] 故\(f\)是幂等函数.

若\(f\)是幂等函数, 则对任意的正整数\(n\), 都有\(f^n=f\).

定理: 设有函数\(f:X{\rightarrow}Y, g:Y{\rightarrow}Z\),

  1. 若\(f\), \(g\)都是满射的, 则\(f{\cdot}g\)也是满射的;

  2. 若\(f\), \(g\)都是单射的, 则\(f{\cdot}g\)也是单射的;

  3. 若\(f\), \(g\)都是双射的, 则\(f{\cdot}g\)也是双射的.

定理: 设有函数\(f:X{\rightarrow}Y\), \(I_X\)是\(X\)上的恒等函数, \(I_Y\)是\(Y\)上的恒等函数, 则\(f =I_X{\cdot}f=f{\cdot}I_Y\).

证明: 对任意的\(x{\in}X\), 因\(I_X(x)=x\), 于是有: \((I_X{\cdot}f)(x)=f(I_X(x))=f(x)\), 所以 \(I_X{\cdot}f=f\).

同理可证: 对任意的 \(y{\in}Y\), 因\(I_Y(y)=y\), 于是有: 对任意的\(x{\in}X\), \((f{\cdot}I_Y)(x)=I_Y(f(x))=f(x)\), 所以\(f{\cdot}I_Y=f\).

逆函数

例: 设\(A=\{a, b\}, B=\{c, d, e\}\), 定义: \(f:A{\rightarrow}B, f=\{{\langle}a, c{\rangle}, {\langle}b, d{\rangle}\}\)(单射但不是满射) 则: \(f^{-1}\)为\(B\)到\(A\)的关系, \[f^{-1}=\{{\langle}c, a{\rangle}, {\langle}d, b{\rangle}\}, \,\,D(f^{-1})=\{c, d\} {\neq}B, \] 故\(f^{-1}\)不是函数.

例: 设\(A=\{0, 1, 2, 3, 4\}, B=\{p, q, r, s\}\), 定义 \(f:A{\rightarrow}B\), \(f=\{{\langle}0, p{\rangle}, {\langle}1, q{\rangle}, {\langle}2, r{\rangle}, {\langle}3, r{\rangle}, {\langle}4, s{\rangle}\}\)

(满射但不是单射)

则\(f^{-1}\)是\(B\)到\(A\)的关系: \(f^{-1}=\{{\langle}p, 0{\rangle}, {\langle}q, 1{\rangle}, {\langle}r, 2{\rangle}, {\langle}r, 3{\rangle}, {\langle}s, 4{\rangle}\}\).

而\({\langle}r, 2{\rangle}, {\langle}r, 3{\rangle}{\in}f^{-1}\), 故\(f^{-1}\)不是函数.

定义: 设\(f:X{\rightarrow}Y\)是一个双射函数, 称\(f\)的逆关系为\(f\)的逆函数, 记作\(f^{-1}\).

若\(f\)的逆函数\(f^{-1}\)存在, 则称\(f\)是可逆的.

例: 设\(A=\{a, b, c\}\), \(B=\{1, 2, 3\}\), \[f:A{\rightarrow}B, f=\{{\langle}a, 1{\rangle}, {\langle}b, 2{\rangle}, {\langle}c, 3{\rangle}\}\] \[g:A{\rightarrow}B, g=\{{\langle}a, 2{\rangle}, {\langle}b, 3{\rangle}, {\langle}c, 2{\rangle}\}\] \[h:A{\rightarrow}B, h=\{{\langle}a, 3{\rangle}, {\langle}b, 3{\rangle}, {\langle}c, 1{\rangle}\}\] 问函数\(f\), \(g\)和\(h\)是否可逆？若是, 求逆函数.

解: \(f\)是双射函数, 是可逆的. \(f^{-1}:B{\rightarrow}A, f^{-1}=\{{\langle}1, a{\rangle}, {\langle}2, b{\rangle}, {\langle}3, c{\rangle}\}\)

因\(g\)和\(h\)都不是双射函数, 故都不存在逆函数.

例: 设\(A=\{0, 1, 2\}\), \(B=\{a, b, c\}\), \(f:A{\rightarrow}B, f=\{{\langle}0, c{\rangle}, {\langle}1, a{\rangle}, {\langle}2, b{\rangle}\}\). 求: \(f{\cdot}f^{-1}, f^{-1}{\cdot}f, (f^{-1})^{-1}\).

解:

\[f^{-1}=\{{\langle}c, 0{\rangle}, {\langle}a, 1{\rangle}, {\langle}b, 2{\rangle}\}\]

\[f^{-1}{\cdot}f=\{{\langle}a, a{\rangle}, {\langle}b, b{\rangle}, {\langle}c, c{\rangle}\}\]

\[f{\cdot}f^{-1} =\{{\langle}0, 0{\rangle}, {\langle}1, 1{\rangle}, {\langle}2, 2{\rangle}\}\]

\[(f^{-1})^{-1}=\{{\langle}0, c{\rangle}, {\langle}1, a{\rangle}, {\langle}2, b{\rangle}\}= f\]

定理: 若\(f:X{\rightarrow}Y\)是双射函数, 则逆函数\(f^{-1}:Y{\rightarrow}X\)也是双射函数.

定理: 若函数\(f:X{\rightarrow}Y\)是可逆的, 则:

  1. \(f{\cdot}f^{-1}=I_X\)

  2. \(f^{-1}{\cdot}f=I_Y\)

  3. \((f^{-1})^{-1}=f\)

定理: 若\(f:X{\rightarrow}Y, g:Y{\rightarrow}Z\)都是可逆函数, 则\(f{\cdot}g\)也是可逆函数, 并且

\((f{\cdot}g)^{-1}=g^{-1}{\cdot}f^{-1}\).