环中的零元

by Hui Li 2021.6.12

写在前面

有一次，不经意间提起加法和乘法。我说，$3{\times}2$是两个3相加，即$3+3$，这其实是一种标量乘。标量乘和乘法混为一谈，根深蒂固，但并非总是这样。比如，矩阵的标量乘和矩阵的乘法并不一样。

后来又有这样一段对话：

王同学：“老师，我有个问题想请教一下。关于环的零元，是由环中加法运算的幺元定义的，那么为何乘法运算将其视为零元呢？这里加法的幺元和乘法运算有啥关系吗？”

我：“这是一个有趣的问题。代数里，零元有两个意思，一个是加法幺元，一个是乘法吸收元，在环中这两个元素正好相等的。”

我翻了几本教材，除了教条还是教条，确实也没有这个问题的说法。于是，单为这位好奇的同学手工证明了一下。

定理与证明

定理：在环中，加法的幺元也是乘法的吸收元。反之亦然。

证明：设加法的幺元为$0$, $a$为环中任意元素，那么 $a{\times}0=a{\times}(0+0)=a{\times}0+a{\times}0{\,\,\,\,}{\Rightarrow}{\,\,\,\,}a{\times}0=0$ 于是，$0$也是乘法的吸收元。 反之，设$0$是乘法的吸收元，1为乘法的幺元，$a$为环中任意元素，那么 $1{\times}0=0{\,\,\,\,}{\Rightarrow}{\,\,\,\,}a=1{\times}a=1{\times}a+1{\times}0=1{\times}(a+0)=a+0$ 所以，$0$也是加法的幺元。