一个整环的例子

Hui Li

二次代数整数环

定义二次代数整数为形如$a + b \omega$的数，其中，$a$和$b$是整数, $\omega$定义为: $\omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}}&{\mbox{if }}D\equiv 2,3{\pmod {4}}\\{{1+{\sqrt {D}}} \over 2}&{\mbox{if }}D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}$ 要求$D$不含平方数的因子。 此外，$D\not\equiv 0\,(mod\, 4)$，因为如果$D\equiv 0\,(mod\, 4)$,那么$D$就能被完全平方数整除了。. 二次代数整数形成整环，称为二次代数整数环。

（记住整环是无零因子环，非零环，交换环。有的定义里，还要求整环是含幺环。 An integral domain is a nonzero commutative ring in which the product of any two nonzero elements is nonzero. "Integral domain" is defined almost universally as above, but there is some variation. Some article follows the convention that rings have a multiplicative identity.）

简单说明： 如果 $D\not\equiv 1\,(mod\, 4)$，那么$a + b{{1+{\sqrt {D}}}\over{2}}$ 不是一个整环。因为此时 $\left({1+{\sqrt {D}}}\over{2}\right)\left(1-\left({1+{\sqrt {D}}}\over{2}\right)\right)={{1-D}\over{4}}\notin{Z}.$

不过，容易验证当 $D\not\equiv 1\,(mod\, 4)$，即$D\equiv 2,3\,(mod\,4)$时，$a + b\sqrt {D}$仍是整环。