一个自同构的例子

Hui Li

复数共轭

复数共轭 (complex conjugation) 是复数域$C$.上的一个域自同构 (field automorphism) 。

证明：

设 $f:C{\rightarrow}C$ 为 $f(a + bi) = a − bi$ 其中$a, b {\in} R$，那么$f$ 是双射(bijection).

该映射实现了对加法运算的映射： $f((a + bi) + (c + di)) = f((a + c) + (b + d)i)$ $= (a + c) − (b + d)i$ $= (a − bi) + (c − di)$ $= f(a + bi) + f(c + di).$

也实现了对乘法运算的映射： $f((a + bi)(c + di)) = f((ac − bd) + (ad + bc)i)$ $= (ac − bd) − (ad + bc)i$ $= (a − bi)(c − di)$ $= f(a + bi)f(c + di).\qquad\square$