同余、中国剩余定理

作者

李辉

发布于

2026年4月2日

同余

定义 1 令 \(a,b,m\) 为整数，且 \(m \neq 0\)。如果 \(m|(a-b)\)，则称 \(a\) 对模 \(m\) 与 \(b\) 同余，记作 \(a\equiv b\,\mod\,m\)。

例 1 \[ 3\equiv 27\,\mod\,12 \]

\[ -3\equiv 11\,\mod\,7 \]

基本性质：

同余关系与常规的加法和乘法算术运算相容。

若 \(a\equiv b\,(\mod\,m)\) 且 \(c\equiv d\,(\mod\,m)\)，则：

\[ a+c \equiv b+d\,(\mod\,m) \]

\[ ac \equiv bd\,(\mod\,m) \]

例 2 \[ 4+12 \equiv 26+1\,(\mod\,11), \,\,\,4\times 12 \equiv 26\times 1\,(\mod\,11) \]

证. \[ a=b+mk,\,\,c=d+ml \]

\[ a+c=b+d+m(k+l) \]

\[ ac=bd+bml+dmk+m^2kl=bd+m(bl+dk+mkl)\square \]

类似地，

如果 \(a\equiv b\,(\mod\,m)\)，那么 \(a^k\equiv b^k\,(\mod\,m)\)。

然而，以下结论是错误的：

如果 \(a\equiv b\,(\mod\,m)\) 且 \(c\equiv d\,(\mod\,m)\)，那么 \(a^c\equiv b^d\,(\mod\,m)\)。
如果 \(ax\equiv bx\,(\mod\,m)\)，那么 \(a\equiv b\,(\mod\,m)\)。

例 3 \[ 4^{12} \not\equiv 4^1\,(\mod\,11) \]

\[ 8^{2} \not\equiv 3^{7}\,(\mod\,5) \]

\[ 5\times 2\equiv 2\times 2\,(\mod\,6) \]

欧拉定理

定义 2 模 \(m\) 的完全剩余系是指一个整数集合 \(\{a_1,a_2,\cdots,a_m\}\)，满足当 \(i\neq j\) 时 \(a_i\not\equiv a_j\,\mod\,m\)，且任一整数 \(n\) 都与集合中的某个 \(a_i\) 模 \(m\) 同余。

模 \(m\) 的既约剩余系（或称缩减剩余系）是一个整数集合 \(\{a_1,a_2,\cdots,a_k\}\)，满足当 \(i\neq j\) 时 \(a_i\not\equiv a_j\,\mod\,m\)，且对所有的 \(i\) 都有 \(\gcd(a_i,m)=1\)，并且任何与 \(m\) 互素的整数 \(n\) 都必与集合中的某个 \(a_i\) 模 \(m\) 同余。

例 4 当 m=9 时：

完全剩余系：\(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\)
既约剩余系：\(\{1,2,4,5,7,8\}\)

当 m=10 时：

完全剩余系：\(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\)
既约剩余系：\(\{1,3,7,9\}\)

定义 3 模 \(m\) 既约剩余系中元素的个数称为欧拉函数 \(\phi(m)\)。

例 5 \[ \phi(9)=6 \]

\[ \phi(10)=4 \]

定理 1 欧拉定理：如果 \(\gcd(a,m)=1\)，则 \[ a^{\phi(m)}\equiv 1\,\mod\,m. \]

例 6 \[ 3^{\phi(10)}=81\equiv 1\,\mod\,10. \]

引理 1 如果 \(\gcd(a,m)=1\) 且 \(r_1, r_2, \cdots, r_k\) 是模 \(m\) 的一个既约剩余系（其中 \(k=\phi(m)\)），那么 \(ar_1, ar_2, \cdots, ar_k\) 也是模 \(m\) 的一个既约剩余系。

例 7 模 10 的既约剩余系： \[ s=\{1,3,7,9\} \]

\[ 7s=\{7, 21, 49, 63\} \equiv \{7,1,9,3\} \,\mod\,10. \]

证. 我们需要证明 \(ar_i\) 都与 \(m\) 互素，且模 \(m\) 互不相同。因为 \(\gcd(r_i,m)=1\) 且 \(\gcd(a,m)=1\)，所以 \(\gcd(ar_i,m)=1\)。此外，如果 \(ar_i\equiv ar_j\,\mod\,m\)，则 \(m|ar_i-ar_j=a(r_i-r_j)\)。

由于 \(\gcd(a,m)=1\)，可得 \(m|r_i-r_j \Rightarrow r_i\equiv r_j\,\mod\,m\)，除非 \(i=j\)，否则这与已知矛盾。\(\;\:\,\square\)

证. 选取模 \(m\) 的一个既约剩余系 \(r_1, r_2, \cdots, r_k\)，其中 \(k=\phi(m)\)。根据引理，\(ar_1, ar_2, \cdots, ar_k\) 也是模 \(m\) 的既约剩余系。这两个集合模 \(m\) 必是彼此的一个排列。因此，

\[ r_1r_2\cdots r_k\equiv ar_1\,ar_2\cdots ar_k\,\mod\,m \]

\[ r_1r_2\cdots r_k\equiv a^{\phi(m)}r_1\,r_2\cdots r_k\,\mod\,m \]

\[ a^{\phi(m)}\equiv 1\,\mod\,m, \] 这是因为 \(\gcd(r_1r_2\cdots r_k,m)=1\)，可以约去。\(\square\)

推论 1 费马小定理：如果 \(p\) 是一个素数且 \(a\) 是一个整数，那么 \[ a^p \equiv a \,(\mod\,p). \] 若 \(p \nmid a\)，则 \(a^{p-1} \equiv 1 \,(\mod\,p)\)。

证. \[ \phi(p)=p-1\square \]

例 8 \[ 3^5 \equiv 243 \equiv 3\,\mod\,5 \]

\[ 2^{11} \equiv 2048 \equiv 2\,\mod\,11 \]

习题 1 \(27^{123456789}\) 的最后一位数字是多少？

模逆元

定义 4 如果 \(\gcd(a,m)=1\)，则模 \(m\) 存在唯一的整数 \(b\) 使得 \(ab\equiv 1 \mod\,m\)。该 \(b\) 被记作 \(\frac{1}{a}\) 或 \(a^{-1}\mod\,m\)。

例 9 \[ \frac{1}{5} \mod\,7 = 5^{-1} \mod\,7 = 3. \]

证. 存在性： 由于 \(\gcd(a,m)=1\)，存在整数 \(x,y\) 使得 \(ax+my=1\)，因此 \(ax\equiv 1 \mod\, m\)。令 \(b=x\)。

唯一性： 如果 \(ab_1\equiv 1\,\mod\,m\) 且 \(ab_2\equiv 1\,\mod\,m\)，那么 \[ ab_1\equiv ab_2\,\mod\,m \Rightarrow m|a(b_1-b_2). \] 由于 \(\gcd(m,a)=1\)，可得 \[ m|b_1-b_2 \Rightarrow b_1\equiv b_2\,\mod\,m.\square \]

定理 2 威尔逊定理：如果 \(p\) 是素数，那么 \((p-1)! \equiv -1\,\mod\,p\)。

例 10 \[ 4!=24\equiv -1\,\mod\,5 \]

引理 2 同余方程 \(x^2\equiv 1\,\mod\,p\) 仅有解 \(x\equiv \pm 1\,\mod\,p\)。

证. \[ x^2\equiv 1\,\mod\,p \]

\[ \Rightarrow p|(x^2-1) \]

\[ \Rightarrow p|(x+1)(x-1) \]

\[ \Rightarrow p|x+1 \text{ 或 } p|x-1 \]

\[ \Rightarrow x\equiv \pm 1\,\mod\,p\square \]

证. 假设 \(p\) 是奇素数，注意： \[ x^2\equiv 1\,\mod\,p\Rightarrow \gcd(x,p)=1 \] 每个元素 \(x\) 都有逆元且满足 \(x\equiv x^{-1}\,\mod\,p\) 的只有 \(x \equiv 1, -1\)。\(\{1,2,\cdots, p-1\}\) 是模 \(p\) 的既约剩余系。

将元素 \(a\) 与其逆元 \(a^{-1} \mod\,p\) 配对。只有 1 和 -1（即 \(p-1\)）是与其自身互为逆元的。

\[ (p-1)! \equiv (a_1a_1^{-1})(a_2a_2^{-1})\cdots(a_ka_k^{-1})(1)(-1)\,\mod\,p \equiv -1\,\mod\,p.\square \]

同余方程(组)

定义 5 一个同余方程的形式为 \(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0\equiv 0\,\mod\,m\)，其中 \(\{a_n,a_{n-1},\cdots, a_0\}\) 是整数。

同余方程的解是指满足该方程的整数或模 \(m\) 的剩余类。

例 11 \(x^2\equiv -1\,\mod\,13\)。解答为 \(\{5,8\}\)。

\(x^2\equiv 1\,\mod\,15\)。解答为 \(\{\pm 1,\pm 4\,\mod\,15\}\)。

定义 6 线性同余方程：次数为 1 的同余方程（\(ax\equiv b\,\mod\,m\)）。

定理 3 令 \(g=\gcd(a,m)\)，则 \(ax\equiv b\,\mod\,m\) 有解的充要条件是 \(g|b\)。如果方程有解，则模 \(m\) 恰有 \(g\) 个解。

例 12 \(4x\equiv 5 \,\mod\, 10\) 无解，因为 \(g=\gcd(4,10)=2\) 不能整除 5。

\(4x\equiv 6 \,\mod\, 10\) 有解 \(x=4\)。事实上，它有 \(g=2\) 个解。另一个解是 \(x=9\)。

证. 假设 \(g\nmid b\)。若 \(x_0\) 是一个解，则 \(ax_0=b+mk\)（对于某个整数 \(k\)）。由于 \(g|a\) 且 \(g|m\)，故 \(g\) 必整除 \(ax_0-mk=b\)，这与假设矛盾。因此若有解，必有 \(g|b\)。

反之，若 \(g|b\)。存在整数 \(x_0, y_0\) 使得 \(g=ax_0+my_0\)。令 \(b=b'g\)，等式两边同乘以 \(b'\) 得到： \[ b=b'g=b'(ax_0+my_0)=a(b'x_0)+m(b'y_0) \]

\[ \Rightarrow a(b'x_0)\equiv b\,(\mod\,m) \] 所以 \(x=b'x_0\) 是一个解。

证明恰有 \(g\) 个解：

假设已有一个解 \(x_1\)。则 \[ ax \equiv b \equiv ax_1 \,(\mod\,m) \]

\[ a(x-x_1) \equiv 0 \,(\mod\,m) \]

意味着 \(a(x-x_1)=mk\)（对于某个整数 \(k\)）。令 \(g=\gcd(a,m)\)，则 \(a=a'g\)，\(m=m'g\)，显然 \(\gcd(a',m')=1\)。

于是 \[ a'g(x-x_1)=m'gk \] \(\Rightarrow a'(x-x_1)=m'k\)。因为 \(\gcd(a',m')=1\)，所以 \[ m'|x-x_1. \]

即 \[ x \equiv x_1 \,\mod\,m'. \]

因此，所有的解为： \[ x_1, x_1+m', x_1+2m', \cdots, x_1+(g-1)m'. \square \]

欧几里得扩展算法

扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm）用于在 \(\gcd(a,n)=1\) 时求解模逆元： \[ a^{-1}\,\mod\,n \]

例 13 \[ 41=1\times 23+18 \]

\[ 23=1\times 18+5 \]

\[ 18=3\times 5+3 \]

\[ 5=1\times 3+2 \]

\[ 3=1\times 2+1 \]

\[ 2=2\times 1 \]

\[ 1=3-1\times 2=3-(5-1\times 3)=-1\times 5+2\times 3 \]

\[ =-1\times 5+2\times (18-3\times 5)=2\times 18-7\times 5 \]

\[ =2\times 18-7\times (23-1\times 18)=-7\times 23+9\times 18 \]

\[ =-7\times 23+9\times (41-1\times 23)=9\times 41-16\times 23, \] 所以， \[ 23^{-1}\,\mod\,41 = -16 \equiv 25 \,\mod\,41. \]

习题 2 \[ 13^{-1}\,\mod\,43 \]

习题 3 \[ 999^{-1}\,\mod\,2021 \]

中国剩余定理

例 14 \[ \left\{ \begin{aligned} x\equiv a_1&(\mod\,m_1)\\ x\equiv a_2&(\mod\,m_2)\\ \cdots &\cdots \\ x\equiv a_k&(\mod\,m_k)\\ \end{aligned} \right. \]

例 15 \[ \left\{ \begin{aligned} x\equiv 5&(\mod\,7)\\ x\equiv 3&(\mod\,11)\\ x\equiv 10&(\mod\,13)\\ \end{aligned} \right. \]

求解方法 (中国剩余定理/孙子定理)

\[ M_i=\frac{\prod m_j}{m_i} \]

\[ y_i=M_i^{-1}\,\mod\,m_i \]

\[ x=\sum a_iM_iy_i \,\mod\,(\prod m_j) \]

\(i\)	\(a\)	\(m\)	\(M\)	\(y\)
1	5	7	143	5
2	3	11	91	4
3	10	13	77	12

因此，计算结果 (\(\sum aMy\)) 模 1001 后为 894。

\[ \left\{ \begin{aligned} 894\equiv 5&(\mod\,7)\\ 894\equiv 3&(\mod\,11)\\ 894\equiv 10&(\mod\,13)\\ \end{aligned} \right. \]

习题 4 \[ \left\{ \begin{aligned} x\equiv 1&(\mod\,7)\\ x\equiv 3&(\mod\,11)\\ x\equiv 5&(\mod\,13)\\ x\equiv 7&(\mod\,19)\\ \end{aligned} \right. \]