数论简介、素数、算术基本定理
数论简介
名人名言
(约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，Johann Carl Friedrich Gauss，1777.4–1855.2)
数学是科学的皇后，而数论是数学的皇后。她常屈尊为天文学和其他自然科学提供服务，但在所有的关系中，她都理应占据第一位。
出自《高斯纪念录》（Gauss zum Gedächtniss），Wolfgang Sartorius von Waltershausen 著，1856年。
相关领域
代数 (Algebra)
几何 (Geometry)
分析 (Analysis)
逻辑 (Logic)
拓扑 (Topology)
计算机科学 (Computer Science)
数的演化
自然数 \(N\) -> 取负
整数 \(Z\) -> 除法
有理数 \(Q\) -> 实分析/戴德金分割 (Dedekind Cut)
实数 \(R\) -> 负数开方
复数 \(C\)
定理 1 \(\sqrt{2}\) 是无理数。
证. 假设 \(\sqrt{2}\) 是有理数。则：
\[ \sqrt{2}=a/b, \]
其中 \(a\) 和 \(b\) 是互素的整数。
\[ a^2 / b^2 = 2,\,\,\,\,a^2 = 2 b^2 \]
因此，\(a\) 必须是偶数。
令 \(a = 2k\)。
\[ 2 b^2 = (2k)^2,\,\,\,\,b^2 = 2k^2 \]
因此，\(b\) 也必须是偶数，这与 \(a/b\) 是最简分数（互素）相矛盾。\(\;\:\,\square\)
从自然数开始
自然数的基本性质
- 后继运算 (Successor Operation)
- \(s(n)=n+1\)
- 数学归纳法原理 (PMI, Principle of Mathematical Induction)
- 若 \(p(1)\) 为真且 \(p(n)\Rightarrow p(n+1)\)，则 \(p(n)\) 对所有自然数都为真。
- 良序原理 (WOP, Well Ordering Principle)
- 自然数的每一个非空子集都有一个最小元素。
习题 1 证明（利用数学归纳法）：\(0 + 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}。\)
整除、带余除法和互素
整除性 (Divisibility)
\[ \begin{gathered} a|b \text{ 当且仅当 } b=ax, \text{ 其中 } a,b,x\in Z \text{ 且 } a\neq 0\\ \forall n\in N,\quad n|0\\ a|b,b|c \rightarrow a|c\\ a|b,a|c \rightarrow a|bx+cy\;\:\,\forall x,y\in Z \end{gathered} \]
例 1 \[ 3|6,6|36 \rightarrow 3|36 \]
\[ 7|14,7|35 \rightarrow 7|(14\times 3+35\times 2=112) \]
带余除法 (Division with Remainder)
定理 2 给定 \(a,b\in Z\) 且 \(a>0\)，则 \(\exists q,r\in Z\)，使得 \(b=aq+r\)，\(0\le r<a\)。
证. 令 \(S=\{b+ka:k\in Z,b+ka\ge 0\}\)。
\[ S \text{ 非空：} \left\{ \begin{aligned} b>0 & \text{ 则 } b+0a\in S \\ b<0 & \text{ 则加上足够多次的 } a \text{ 使其变为正数}\\ \end{aligned} \right. \]
由于 \(S\) 是非空的，根据良序原理，\(S\) 有一个最小元素 \(r=b+ka\)（对某个 \(k\)）。
令 \(q=-k\)，则得到 \(r=b-qa\)。
\(r\ge0\) 因为它在 \(S\) 中，且 \(r<a\)，因为如果不是这样，那么 \(b+(k-1)a\) 将会是 \(S\) 中更小的元素。\(\;\:\,\square\)
例 2 \[ 311 = ? \times 13 + ?\,(a=13) \]
\[ -21 = ? \times 11 + ?\,(a=11) \]
定义 1 最大公约数 (GCD, Greatest Common Divisor)
如果 \(a\) 和 \(b\) 不全为 0，则 \(\gcd(a,b)\) 或 \((a,b)\) 是 \(a\) 和 \(b\) 的最大公约数。
例 3 \[ \gcd(24,38)=2 \]
习题 2 \[ \gcd(148, 111111)=? \]
定理 3 令 \(g=\gcd(a,b)\)，则 \(\exists x_0,y_0 \in Z\)，使得 \(g=ax_0+by_0\)。
证. 令 \(S=\{ax+by:x,y\in Z,ax+by>0\}\)，假设 \(a,b\) 不全为 0。假设 \(a\neq 0\)：
\[ S \text{ 非空}： \left\{ \begin{gathered} a>0 \Rightarrow a\in S \\ a<0 \Rightarrow -a\in S \end{gathered} \right. \]
由于 \(S\) 非空，它有一个最小元素 \(g=ax+by\)。接下来，我们将证明 \(g|a\) 且 \(g\) 是公共约数中最大的。
证明 \(g|a\)（反证法）：
\[ \begin{gathered} a=gq+r,\;\:\,0<r<g\\ r=a-gq=a-q(ax+by)=a(1-qx)-b(qy)\\ \Rightarrow r\in S \end{gathered} \] 然而 \(r<g\)，这与 \(g\) 是最小元素矛盾。
证明 \(g\) 是最大的公共约数：
若 \(d|a\) 且 \(d|b\)，则 \(d|ax+by=g\)。由于 \(g|a,g|b\)，且 \(g\) 是已知的最大的公共约数，因此 \(g\) 即为 \(\gcd(a,b)\)。\(\;\:\,\square\)
习题 3 \[ \gcd(24,34)=2 \]
\[ 2=24x+34y,\,x,y\in Z \]
\[ x=?, \,y=? \]
定义 2 互素 (Coprime)
如果 \(\gcd(a,b)=1\)，则称 \(a\) 和 \(b\) 互素。
例 4
10 和 9 互素
10 和 12 不互素
推论 1 如果 \(\gcd(a,m)=1\) 且 \(\gcd(b,m)=1\)，则 \(\gcd(ab,m)=1\)。
证. \[ \begin{gathered} 1=ax+my,ax=1-my\\ 1=bx'+my',bx'=1-my'\\ abxx'=(1-my)(1-my')\\ =1-my-my'+m^2yy'\\ =1+m(-y-y'+myy')\\ 1=ab(xx')+m(y+y'-myy')\square \end{gathered} \]
例 5 \(\gcd(5, 24)=1, \gcd(7,24)=1。\) 因此，\(\gcd(35,24)=1。\)
推论 2 如果 \(c|ab\) 且 \(\gcd(c,a)=1\)，则 \(c|b\)。
证. \[ \begin{gathered} \gcd(a,c)=1 \Rightarrow 1=ax+cy \Rightarrow b=abx+bcy\\ c|ab,c|bc \Rightarrow c|(abx+bcy)=b\square \end{gathered} \]
例 6 \[ 35|1050, \,\gcd(35,6)=1 \]
\[ 35|175 \]
欧几里得最大公约数算法（辗转相除法）：给定不全为 0 的 \(a,b\in Z\)，可以按如下方式求解 \(\gcd(a,b)\)。
若 \(a,b<0\)，用其相反数替代。
若 \(a>b\)，交换 \(a\) 和 \(b\)。
若 \(a=0\)，返回 \(b\)。
由于 \(a>0\)，写出 \(b=aq+r\)，其中 \(0\le r<a\)。将 \(\gcd(a,b)\) 替换为 \(\gcd(r,a)\)，并执行步骤 3。
证. 步骤 1 和 2 不影响最大公约数。因此只需证明当 \(b=aq+r\) 时，\(\gcd(a,b)=\gcd(r,a)\)。令 \(d=\gcd(r,a)\) 且 \(e=\gcd(a,b)\)：
\[ \begin{aligned} d=\gcd(r,a)\\ \Rightarrow d|a,d|r \\ \Rightarrow d|aq+r=b \\ \Rightarrow d|\gcd(a,b)=e \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} e=\gcd(a,b)\\ \Rightarrow e|a,e|b \\ \Rightarrow e|b-aq=r \\ \Rightarrow e|\gcd(r,a)=d \end{aligned} \]
由于 \(d\) 和 \(e\) 都是正数且相互整除，因此它们相等。\(\;\:\,\square\)
习题 4 再次计算： \[ \gcd(148, 111111)=? \]
定义 3 素数 (Prime number) 是一个大于 1 的整数 \(p\)，它不能写成 \(p=ab\) 的形式，其中 \(a,b>1\)。
例 7
11 是一个素数
111 不是一个素数
定理 4 (算术基本定理)。每一个正整数都可以写成素数的乘积（可能包含重复），且这种分解形式在不计素因子顺序的情况下是唯一的。
例 8 \[ 72=2^3\times 3^2 \]
\[ 999999=3^3\times 7\times 11\times 13\times 37 \]
证. 存在性（反证法）：
令 \(S\) 是不能写成素数乘积的数的集合。假设 \(S\) 非空，根据良序原理，它有一个最小元素 \(n\)。根据定义，\(n=1\) 是不可能的，因此 \(n>1\)。\(n\) 不可能是素数，因为如果 \(n\) 是素数，它就是一个只有一项的乘积，从而不在 \(S\) 中。
因此，\(n=ab\)，其中 \(a,b>1\)。
同时，\(a,b<n\)，所以根据 \(n\) 的最小性，它们都不在 \(S\) 中，因此 \(a\) 和 \(b\) 都是素数的乘积。由于 \(n\) 是这两个乘积的乘积，所以 \(n\) 也是素数的乘积，故 \(n\) 不在 \(S\) 中，这导致 \(S\) 为空集。
引理 1 如果 \(p\) 是素数且 \(p|ab\)，则 \(p|a\) 或 \(p|b\)。
证. 假设 \(p\nmid a\)，并令 \(g=\gcd(p,a)\)。由于 \(p\) 是素数，\(g\) 只能是 1 或 \(p\)。因为 \(g|a\) 且 \(p\nmid a\)，所以 \(g\) 不能是 \(p\)，故 \(g=1\)。因此 \(p|b\)。\(\square\)
推论 3 如果 \(p|a_1a_2\cdots a_n\)，则 \(p|a_i\) 对某个 \(i\) 成立。
证. 若 \(n=1\)，推论显然成立。假设对 \(n=k\) 成立。令 \(n=k+1\)，
\[ p|\overbrace{a_1a_2\cdots a_k}^{A}\overbrace{a_{k+1}}^{B} \]
\[ p|AB \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} p|A \;\:\, & = p|a_1a_2\cdots a_k \Rightarrow p|a_i \text{ 对某个 } i \text{ 成立}\\ p|B \;\:\, & \Rightarrow p|a_{k+1}\square \end{aligned} \right. \]
证. 唯一性：
假设 \(n=p_1p_2\cdots p_r=q_1q_2\cdots q_s\)，\(p_1|n=q_1q_2\cdots q_s\)，因此 \(p_1|q_i\) 对某个 \(i\) 成立。由于 \(p_1\) 和 \(q_i\) 都是素数，所以 \(p_1=q_i\)。
逐个约去素因子，可以得到 \(r=s\)，且 \(p_1p_2\cdots p_r\) 是 \(q_1q_2\cdots q_s\) 的一个排列。\(\square\)
定理 5 素数有无穷多个。
证. 假设只有有限个素数 \(p_1,p_2,\cdots,p_n\)（其中 \(n\ge 1\)）。考虑 \(N=p_1p_2\cdots p_n+1\)。根据算术基本定理，必定有一个素数 \(q\) 能整除 \(N\)。利用欧几里得最大公约数算法，\(\gcd(p_i, p_1p_2\cdots p_n+1)=\gcd(p_i,1)=1\)，因此 \(p_i\nmid N\)。这意味着 \(q \neq p_i\)（对任何 \(i\)），即 \(q\) 是一个新的素数。\(\square\)
证. 欧拉带来的另一种证明\(^{\star\star\star}\)：
\[ 1+\left(\frac{1}{p}\right)+\left(\frac{1}{p}\right)^2+\left(\frac{1}{p}\right)^3+\ldots=\frac{1}{1-1/p}, \]
\[ \prod_{p}\frac{1}{1-1/p}=\prod_{p}(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^3}+\ldots). \] 将各级数展开并相乘，可以选取各项的所有可能组合，从而得到：
\[ \prod_{p}\frac{1}{1-1/p}= (\dots\frac{1}{p_1^{e_1}}\dots)(\dots\frac{1}{p_2^{e_2}}\dots)\dots(\dots\frac{1}{p_m^{e_m}}\dots)\dots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \square \]
与素数相关的著名猜想
哥德巴赫猜想 (Goldbach Conjecture)
孪生素数猜想 (Twin Prime Conjecture)
梅森素数猜想 (Mersenne Prime Conjecture)