组合数学：排列与组合
排列与阶乘
将不同的对象按照线性顺序排列，且每个对象恰好使用一次，称为这些对象的排列 (Permutation)。
第一个位置有 n 种选择。
第二个位置有 n-1 种选择。
第三个位置有 n-2 种选择。
\cdots\cdots
最后一个位置只有 1 种选择。
n 个对象的所有排列的数量 n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot 1 称为 n 的阶乘 (Factorial)，记作 n!。
定义 0!=1.
定理 1 一个 n 元集合的所有排列数为 n!。
斯特林公式 (Stirling’s formula)
n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
练习 1 一位园丁有 3 朵蓝色花、4 朵红色花和 5 朵白色花要种成一排。她有多少种不同的种植方式？
设 n, k, a_1, a_2, \cdots, a_k 为非负整数，满足 a_1 + a_2 + \cdots + a_k = n。考虑一个包含 n 个对象的多重集 (Multiset)，其中有 a_i 个对象属于第 i 种类型（对于所有 i \in [k]）。那么，将这些对象进行线性排列的方法数为：
\frac{n!}{a_1!a_2!\cdots a_k!}
字符串
接下来，我们从一组有限的符号（称为有限字母表 (alphabet)）中构造字符串。
我们不要求每个符号出现的次数固定。
定理 2 在 n 元字母表上可以形成的 k 位字符串的数量为 n^k。
练习 2 在十进制系统中，有多少个 6 位正整数？
为了使 X 和 Y 之间的对应关系成为双射 (Bijection)，必须满足以下四个性质：
X 的每个元素必须与 Y 的至少一个元素对应；
X 的元素不能与 Y 的多个元素对应；
Y 的每个元素必须与 X 的至少一个元素对应；
Y 的元素不能与 X 的多个元素对应。
满足性质 (1) 和 (2) 意味着该对应是一个以 X 为定义域 (Domain) 的函数 (Function)。
满足性质 (3) 的函数被称为“满射到 Y”，即满射 (Surjection)。
满足性质 (4) 的函数被称为“一一映射函数”，即单射 (Injection)。
例 1 一个 n 元集合的所有子集数量为 2^n。
设 B 是 [n] 的任意子集，令 f(B) 为一个字符串，其第 i 位为 1 当且仅当 i \in B，否则为 0。
后一个集合有 2^n 个元素。
假设 n=9。
B=\{1,3,5,6\}\,\Leftrightarrow\,f(B)='101011000'
B=\{2,5,7,9\}\,\Leftrightarrow\,f(B)='010010101'
定理 3 设 n 和 k 为正整数且 n > k。在 n 元字母表上，每个字母最多使用一次的 k 位字符串的数量为：
P(n,k)=n(n-1)\cdots(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}
这些对象也被称为 n 的 k-排列，或部分排列。
例 2 有 10 个不同颜色的盒子。Jack、Rose、Smith、Hilary 和 Jessica 每人从中选择一个盒子，共有多少种不同的选择方式？
P(10,5)=\frac{10!}{5!}
组合
n 元集合 S 的一个 k-组合 (k-element combination) 是 S 的一个包含 k 个元素的子集，其元素没有顺序。
例如，从一套牌中选出 5 张牌组成特定的手牌。
{n \choose k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}=\frac{n!}{(n-k)!k!}
定理 4 对于所有非负整数 k < n， {n \choose k}={n \choose n-k} 成立。且 {n \choose 0}={n \choose n}=1.
练习 3 一名工人 5 月份必须工作 6 天。
但是，他不允许连续两天工作。
他有多少种不同的方式选择这 6 天工作日？
练习 4 假设我们玩一个彩票游戏，从 [100] 中抽取 5 个数字，但抽出的数字会放回。
要赢得头奖，玩家投出的数字多重集必须与抽出的多重集相同（不计顺序）。
我们要买多少张彩票才能确保赢得头奖？
（5, 93, 66, 34, 66 与 66, 66, 34, 93, 5 相同。）
定理 5 元素均属于 [n] 的 k-元多重集 的数量为： {n+k-1 \choose k}
k-组合 也被称为二项式系数 (Binomial coefficients)。
二项式系数
定理 6 对于所有非负整数 n，
(x+y)^n =\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k. 将 (x + y)^n 写成乘积形式： (x+y)(x+y)(x+y)\cdots(x+y). 展开式中的每一项对应于每次选择 x 或 y。二项式系数 {n \choose k} 可以解释为从 n 元集合中选择 k 个元素的方式数。
例 3 在下式中 xy^2 的系数：
\begin{gather} (x+y)^3 = (x+y)(x+y)(x+y) \\ = xxx + xxy + xyx + \boxed{xyy} + yxx + \boxed{yxy} + \boxed{yyx} + yyy \\ = x^3 + 3x^2y + \boxed{3xy^2} + y^3. \end{gather} \,
等于 \binom{3}{2}=3。
定理 7 设 n > 0，
\sum_{k=0}^n (-1)^k\binom n k = 0.
证. (1-1)^n =\sum_{k=0}^n {n \choose k} 1^{n-k} (-1)^k.\square
定理 8 \sum_{k=0}^n \binom n k = 2^n
证. (1+1)^n =\sum_{k=0}^n {n \choose k} 1^{n-k} 1^k.\square
递归公式 (递推公式)
\binom nk = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}k 对于所有整数 n,k : 1\le k\le n-1，初始值为：
\binom n0 = \binom nn = 1 \quad \text{对于所有整数 } n\ge0.
练习 5 试证明递推公式：
\binom nk = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}k.
递推公式 的组合证明。
左式是从 [n] 中选择 k 元子集的数量。
这样的子集 S 要么包含 n，要么不包含 n。
如果包含 n，那么 S 的其余部分是 [n-1] 的一个 (k-1) 元子集，这由右式的第一部分计算。
如果不包含 n，那么 S 是 [n-1] 的一个 k 元子集，这由右式的第二部分计算。
递推公式 也产生了杨辉三角 (Yanghui’s triangle)：
\begin{array}{c} \{1\} \\ \{1,1\} \\ \{1,2,1\} \\ \{1,3,3,1\} \\ \{1,4,6,4,1\} \\ \{1,5,10,10,5,1\} \\ \{1,6,15,20,15,6,1\} \\ \{1,7,21,35,35,21,7,1\} \\ \end{array}
练习 6 试利用数学归纳法证明：
\sum_{m=k}^n \binom m k = \binom {n+1}{k+1}.
定理 9 朱世杰恒等式 (Hockey-stick identity) \sum_{m=k}^n \binom m k = \binom {n+1}{k+1}.
证. 组合证明。
右式计算 [n + 1] 的 (k+1) 元子集的数量。
也就是说，在 [n+1] 的 (k+1) 元子集中，有 \binom nk 个子集的最大元素是 n+1。
在 [n+1] 的 (k+1) 元子集中，有 \binom {k+i}k 个子集的最大元素是 k+i+1。 \square
练习 7 试证明：对于所有非负整数 n，
\sum_{k=0}^n k \binom n k = n 2^{n-1}.
定理 10 \sum_{k=0}^n k \binom n k = n 2^{n-1}.
证. 组合证明。
从 n 个人中选出一个委员会，然后从委员会中选出一名主席。
左式：我们首先以 \binom nk 种方式选出一个 k 人委员会，然后以 k 种方式选出其主席。
右式：我们首先以 n 种方式选出主席，然后从剩下的 n-1 个人中以 2^{n-1} 种方式选出一组子集作为普通的委员会成员。 \square
定理 11 范德蒙德恒等式 (Chu–Vandermonde identity) 对于任何复数值 m 和 n 以及任何非负整数 k，
\sum_{j=0}^k \binom m j \binom{n-m}{k-j} = \binom n k
证. 组合证明。
右式：[n] 的所有 k 元子集。
左式：我们可以先从 [m] 中以 \binom mj 种方式选出 j 个元素，然后从集合 \{m+1, m+2, \cdots , n\} 中以 \binom{n-m}{k-j} 种方式选出剩下的 k-j 个元素。 \square
定理 12 对于所有非负整数 k 和 n，且 k \leq \frac{n-1}{2}，不等式 \binom{n}{k}\leq\binom{n}{k+1} 成立。此外，等号成立当且仅当 n = 2k + 1。
\frac{n!(\boxed{k+1})}{(k+1)!(n-k)!}\qquad\qquad\frac{n!(\boxed{n-k})}{(k+1)!(n-k)!}
推论 1 对于所有非负整数 k 和 n，且 k \geq \frac{n-1}{2}，不等式 \binom{n}{k}\geq\binom{n}{k+1} 成立。此外，等号成立当且仅当 n = 2k + 1。
多项式系数
多项式系数 (Multinomial coefficients)
三项式 x + y + z 的三次方由下式给出：
(x+y+z)^3
= x^3 + y^3 + z^3 + 3 x^2 y + 3 x^2 z + 3 y^2 x
+ 3 y^2 z + 3 z^2 x + 3 z^2 y + 6 x y z.
二项式系数可以推广为多项式系数，定义为：
{n\choose a_1,a_2,\cdots,a_k} =\frac{n!}{a_1!a_2!\cdots a_k!}
其中 \sum_{i=1}^ka_i=n。
(x_1 + x_2 + \cdots + x_k)^n
= \sum_{a_1+a_2+\cdots+a_k=n} {n \choose a_1, a_2, \ldots, a_k} \prod_{1\le i\le k}x_{i}^{a_{i}},
k = 2 的情况即为二项式系数：
{n\choose a_1,a_2}={n\choose a_1, n-a_1}={n\choose a_1}= {n\choose a_2}.
定理 13 对于所有非负整数 n 和 a_1, a_2, \cdots, a_k，满足 \sum_{i=1}^ka_i=n。
{n \choose a_1, a_2, \ldots, a_k}={n \choose a_1}{n-a_1\choose a_2}\cdots{n-a_1-\cdots-a_{k-1}\choose a_k}
证. {n \choose a_1}{n-a_1\choose a_2}\cdots{n-a_1-\cdots-a_{k-1}\choose a_k}=
\frac{n!}{\boxed{(n-a_1)!}a_1!}\frac{\boxed{(n-a_1)!}}{\boxed{(n-a_1-a_2)!}a_2!}\frac{\boxed{(n-a_1-a_2)!}}{(n-a_1-a_2-a_3)!a_3!}\cdots\square