组合数学：基本计数原理
组合数学
组合数学 (Combinatorics) 是数学的一个分支，主要研究有限结构的计数及其相关性质。
组合问题出现在纯数学的许多领域，如代数、概率论、拓扑和几何。
与组合数学密切相关的最古老且最重要的领域之一是图论 (Graph Theory)。
组合数学经常用于计算机科学，在算法分析中用于获取公式和估计。
枚举组合数学 (Enumerative combinatorics) 是组合数学最经典的领域，主要集中在计算某些组合对象的数量。
组合原理
加法原理 (Rule of sum)
乘法原理 (Rule of product)
数学归纳法 (Mathematical induction)
鸽巢原理 (Pigeonhole principle)
容斥原理 (Inclusion–exclusion principle)
生成函数 (Generating function)
加法原理
例 1 Candy 今天穿着她的幸运衬衫，她需要在 4 条白色裙子、3 条黑色裙子和 2 条红色裙子中做出选择。
她这一天有多少种不同的裙子选择？
练习 1 以下不等式有多少个整数解：
-5 < x < 5\quad \text{ 或 }\quad 12 < x < 100?
乘法原理
例 2 Kate 正在决定穿什么。
她有以下颜色的衬衫：白色、蓝色和紫色。
她有以下颜色的裤子：黑色和灰色。
Kate 有多少种不同的套装选择（假设她选择一件衬衫和一条裤子）？
练习 2 800 有多少个正因数？
练习 3 有三个城市，分别记为 A, B, C。从 A 到 B 有 3 条路径；从 B 到 C 有 2 条路径；从 A 到 C 有 4 条路径。Bob 从 A 到 C 有多少种不同的走法？
数学归纳法
弱归纳法 (Weak induction)：数学归纳法最常见的形式，在归纳步骤中需要证明：
\forall k(P(n)\to P(n+1))
强归纳法 (Strong induction)：在假设 P(k) 对于所有小于 n + 1 的自然数 k 都成立的前提下，证明命题 P(n + 1) 成立。
马悖论 (Horse paradox)
所有的马都是同一种颜色的。
如果“群体”中只有一匹马，显然该群体中的所有马颜色相同。
假设 n 匹马总是同一种颜色。考虑一个由 n+1 匹马组成的群体。
首先，排除一匹马，只看剩下的 n 匹马；既然 n 匹马总是同一种颜色，这些马颜色都相同。
同样地，排除另一匹马，只看另外的 n 匹马。这些马也必须是同一种颜色。
- 因此，如果 n 匹马颜色相同，那么 n+1 匹马也将颜色相同。
这个悖论由 Joel E. Cohen 在 1961 年的一篇讽刺文章中提出。
练习 4 对于所有正整数 n，[n]（即 \{1,2,\cdots,n\}）的所有子集数量为 2^n。
鸽巢原理
基本形式 (Basic version)：如果将 n 个对象分配到 m 个位置，且 n > m，那么至少有一个位置会有至少两个对象。
广义形式 (Generalized version)：设 n, m, r 为正整数，使得 n > rm。如果我们将 n 个相同的球放入 m 个相同的盒子中，那么至少有一个盒子中会放入至少 r + 1 个球。
例 3 在单位正方形内给出 10 个点。
那么其中有两个点，它们之间的距离小于 0.48；
且其中有三个点，可以被一个半径为 0.5 的圆盘覆盖。
练习 5 在序列 7, 77, 777, 7777, \cdots 中，存在一个能被 2003 整除的元素。
容斥原理
容斥原理 (Inclusion–exclusion principle) 是一种计数技巧，它推广了计算两个有限集合并集元素个数的常见方法。
|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|,
|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|.
\left|\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|=\sum _{i=1}^{n}|A_{i}|-\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}|A_{i}\cap A_{j}|+\sum _{1\leqslant i<j<k\leqslant n}|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}|-\cdots +(-1)^{n-1}\left|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right|.
例 4 一个高中班级中有 15 名学生踢足球，18 名学生打篮球。5 名学生两项运动都参加。 有多少名学生至少参加这两项运动中的一项？ 15+18-5
练习 6 在 [105]（即 \{1,2,\cdots,105\}）中，有多少个正整数包含因子 3、5 或 7？
一场派对有 n 位客人参加。
当客人到达时，他们把帽子放在同一个更衣室里。派对结束后发生了停电，所以每位客人都从更衣室随机拿走一顶帽子。当客人们回到街上时，他们惊讶地发现没有人拿回自己的帽子。
这种情况有多少种不同的发生方式？
错排 (Derangement)
假设 n 个人编号为 1,2,\cdots,n。同时有 n 顶帽子也编号为 1,2,\cdots,n。我们需要找到没有人拿到的帽子编号与自己编号相同的方法数。
设 A_i 为 [n] 的所有排列构成的集合，其中元素 i 位于第 i 个位置，换句话说，元素 i 是固定的。
例如，23541\in A_4。
答案与 \#(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}) 相关。
\#A_i=(n-1)!
集合 A_i\cap A_j 由元素 i 和 j 固定的排列组成，其余 n-2 个项可以自由排列，共有 (n-2)! 种方式。\#(A_i\cap A_j)=(n-2)!
其余部分我们晚点再讨论。