一阶逻辑推导
正确的语义树:
错误的语义树:
语义树并不能判定所有一阶逻辑公式的可满足性,但可以证明一个不可满足式的不可满足性。
如果一个逻辑公式是永真的, 那么可以通过建立该公式的否的语义树来证明。
一阶逻辑的金琛系统:
一阶逻辑的希尔伯特系统:
公理 1:
公理 2:
公理 3:
公理 4:
公理 5:
假言推理(Modus Ponens):
泛化:
对谓词公式来说,在量词或的辖域内,如果没有的自由变量,则称对于变量是自由的。
例: 令表示下列谓词公式:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
其中(1),(2)和(5)对是自由的,(3)和(4)对不是自由的。
公理4也可以转化为规则, 称存在量词具体化规则(Universal Specification), 简称US规则。
其中为个体域中任意个体常量。
这里要求对是自由的,
或是取代了中所有自由出现的.
例: 设个体域为实数集合,表示,则解释为"对任一实数,都存在实数,使得",这是一个真命题。
推导过程如下:
1. Assumption
2. US,1
出错的原因是对不是自由的。
全称量词泛化规则(Universal Generalization)又称全称量词引入规则, 简称UG规则。
全称量词泛化规则要求: 前提对于的任意取值都成立, 对是自由的, 且取代的个体变量不能在中约束出现。
例: 设个体域为实数集合, 表示, 推导过程如下:
1. Assumption
2. US,1
3. UG,2
出错的原因是用在中约束出现的取代了.
其它规则
存在量词具体化规则(Existential Specification), 简称ES规则, 也称C-Rule.
其中为特定的个体常量,且使用不曾在中出现过的个体常量或个体变量取代.
当中存在其他自由变量时不宜使用此规则。
例: 设个体域为实数集合,表示,推导过程如下:
1. Assumption
2. US,1
3. ES,2
出错原因是中存在自由变量,不宜使用ES规则。
存在量词泛化规则, 简称EG (Existential Generalization)规则。
其中为特定的个体常量, 对是自由的, 取代的个体变量不曾在中出现, 且不能是中的个体变量。
例: 设个体域为实数集合,表示,推导过程如下:
1. Assumption
2. EG,1
出错原因是已在中出现, 此时不能用取代0.
定理:
证明:
1. Assumption
2. A4,1
3. Assumption
4. A4,3
5. MP,2,4
6. UG,5
7. Deduction,1,6
8. Deduction,3,7