等价式与蕴含式

设$A$$A$和$B$$B$是两个命题公式,若对$A$$A$和$B$$B$的任何相同解释,$A$$A$和$B$$B$总是取得相同的真值,则称命题公式$A$$A$和$B$$B$是逻辑等价（Logically Equivalent）的, 记做$A\iff B$$A{\Leftrightarrow}B$. $A\iff B$$A{\Leftrightarrow}B$称为等价式。

"$\iff$${\Leftrightarrow}$"不是联结词。 $A\iff B$$A{\Leftrightarrow}B$不是一个公式,它表示两个公式间的逻辑等价关系。

而"$\leftrightarrow$${\leftrightarrow}$"是联结词,$A\leftrightarrow B$$A{\leftrightarrow}B$是一个公式。

$A\iff B$$A{\Leftrightarrow}B$当且仅当$A\leftrightarrow B$$A{\leftrightarrow}B$为真。

可通过真值表来判定逻辑等价关系。

例如：

以下是一些常用的逻辑等价式：

双重否定律 (Double negation law)

$\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }A\iff A$${\lnot}{\lnot}A{\Leftrightarrow}A$

等幂律 (Idempotent laws)

$A\vee A\iff A$$A{\vee}A{\Leftrightarrow}A$ $A\wedge A\iff A$$A{\wedge}A{\Leftrightarrow}A$

结合律 (Associative laws)

$(A\vee B)\vee C\iff A\vee (B\vee C)$$(A{\vee}B){\vee}C{\Leftrightarrow}A{\vee}(B{\vee}C)$ $(A\wedge B)\wedge C\iff A\wedge (B\wedge C)$$(A{\wedge}B){\wedge}C{\Leftrightarrow}A{\wedge}(B{\wedge}C)$

交换律 (Commutative laws)

$A\vee B\iff B\vee A$$A{\vee}B{\Leftrightarrow}B{\vee}A$ $A\wedge B\iff B\wedge A$$A{\wedge}B{\Leftrightarrow}B{\wedge}A$

分配律 (Distributive laws)

$A\vee (B\wedge C)\iff (A\vee B)\wedge (A\vee C)$$A{\vee}(B{\wedge}C){\Leftrightarrow}(A{\vee}B){\wedge}(A{\vee}C)$ $A\wedge (B\vee C)\iff (A\wedge B)\vee (A\wedge C)$$A{\wedge}(B{\vee}C){\Leftrightarrow}(A{\wedge}B){\vee}(A{\wedge}C)$

吸收律 (Absorption laws)

$A\vee (A\wedge B)\iff A$$A{\vee}(A{\wedge}B){\Leftrightarrow}A$ $A\wedge (A\vee B)\iff A$$A{\wedge}(A{\vee}B){\Leftrightarrow}A$

德$\cdot$$\cdot$摩根律 (De Morgan's laws)

$\mathrm{\neg }(A\wedge B)\iff \mathrm{\neg }A\vee \mathrm{\neg }B$${\lnot}(A{\wedge}B){\Leftrightarrow}{\lnot}A{\vee}{\lnot}B$ $\mathrm{\neg }(A\vee B)\iff \mathrm{\neg }A\wedge \mathrm{\neg }B$${\lnot}(A{\vee}B){\Leftrightarrow}{\lnot}A{\wedge}{\lnot}B$

同一律 (Identity laws)

$A\vee F\iff A$$A{\vee}F{\Leftrightarrow}A$ $A\wedge T\iff A$$A{\wedge}T{\Leftrightarrow}A$

零律 (Domination laws)

$A\vee T\iff T$$A{\vee}T{\Leftrightarrow}T$ $A\wedge F\iff F$$A{\wedge}F{\Leftrightarrow}F$

补余律 (Negation laws)

$A\vee \mathrm{\neg }A\iff T$$A{\vee}{\lnot}A{\Leftrightarrow}T$ $A\wedge \mathrm{\neg }A\iff F$$A{\wedge}{\lnot}A{\Leftrightarrow}F$

条件转化律 (Conditionals, Material Implication)

$A\to B\iff \mathrm{\neg }A\vee B$$A{\rightarrow}B{\Leftrightarrow}{\lnot}A{\vee}B$ $A\to B\iff \mathrm{\neg }B\to \mathrm{\neg }A$$A{\rightarrow}B{\Leftrightarrow}{\lnot}B{\rightarrow}{\lnot}A$ $\mathrm{\neg }(A\to B)\iff A\wedge \mathrm{\neg }B$${\lnot}(A{\rightarrow}B){\Leftrightarrow}A{\wedge}{\lnot}B$

双条件转化律 (Biconditionals, Material Equivalence)

$A\leftrightarrow B\iff (A\to B)\wedge (B\to A)$$A{\leftrightarrow}B{\Leftrightarrow}(A{\rightarrow}B){\wedge}(B{\rightarrow}A)$ $A\leftrightarrow B\iff (A\wedge B)\vee (\mathrm{\neg }A\wedge \mathrm{\neg }B)$$A{\leftrightarrow}B{\Leftrightarrow}(A{\wedge}B){\vee}({\lnot}A{\wedge}{\lnot}B)$

归缪律 (Reductio ad absurdum)

$(A\to B)\wedge (A\to \mathrm{\neg }B)\iff \mathrm{\neg }A$$(A{\rightarrow}B){\wedge}(A{\rightarrow}{\lnot}B){\Leftrightarrow}{\lnot}A$

输入输出律(Exportation, Importation)

$(A\wedge B)\to C\iff A\to (B\to C)$$(A{\wedge}B){\rightarrow}C{\Leftrightarrow}A{\rightarrow}(B{\rightarrow}C)$

设$A,B$$A,B$为两个命题公式,若$A\to B$$A{\rightarrow}B$为真,即$A\to B\iff T$$A{\rightarrow}B{\Leftrightarrow}T$,则称$A\to B$$A{\rightarrow}B$为永真蕴含式, 也称命题公式$A$$A$永真蕴含命题公式$B$$B$, 记作$A\Rightarrow B.$$A{\Rightarrow}B.$

"$\Rightarrow$${\Rightarrow}$"不是联结词,"$A\Rightarrow B$$A{\Rightarrow}B$"不是公式,它表示公式$A$$A$与$B$$B$之间存在永真蕴含关系。

"$\to$${\rightarrow}$"是联结词,$A\to B$$A{\rightarrow}B$是一个公式。

$A\Rightarrow B$$A{\Rightarrow}B$当且仅当$A\to B$$A{\rightarrow}B$为真。

以下是一些常用的永真蕴含式：

化简式 (Simplification)

$A\wedge B\Rightarrow A$$A{\wedge}B{\Rightarrow}A$ $A\wedge B\Rightarrow B$$A{\wedge}B{\Rightarrow}B$

附加式 (Addition)

$A\Rightarrow A\vee B$$A{\Rightarrow}A{\vee}B$ $B\Rightarrow A\vee B$$B{\Rightarrow}A{\vee}B$

假言推理 (Modus ponens)

$A\wedge (A\to B)\Rightarrow B$$A{\wedge}(A{\rightarrow}B){\Rightarrow}B$

拒取式 (Modus tollens)

$\mathrm{\neg }B\wedge (A\to B)\Rightarrow \mathrm{\neg }A$${\lnot}B{\wedge}(A{\rightarrow}B){\Rightarrow}{\lnot}A$

析取三段论 (Disjunctive syllogism)

$\mathrm{\neg }A\wedge (A\vee B)\Rightarrow B$${\lnot}A{\wedge}(A{\vee}B){\Rightarrow}B$

假言三段论 (Hypothetical syllogism)

$(A\to B)\wedge (B\to C)\Rightarrow (A\to C)$$(A{\rightarrow}B){\wedge}(B{\rightarrow}C){\Rightarrow}(A{\rightarrow}C)$

双条件三段论

$(A\leftrightarrow B)\wedge (B\leftrightarrow C)\Rightarrow (A\leftrightarrow C)$$(A{\leftrightarrow}B){\wedge}(B{\leftrightarrow}C){\Rightarrow}(A{\leftrightarrow}C)$

构造性二难 (Constructive dilemma)

$(A\to B)\wedge (C\to D)\wedge (A\wedge C)\Rightarrow B\wedge D$$(A{\rightarrow}B){\wedge}(C{\rightarrow}D){\wedge}(A{\wedge}C){\Rightarrow}B{\wedge}D$ $(A\to B)\wedge (C\to D)\wedge (A\vee C)\Rightarrow B\vee D$$(A{\rightarrow}B){\wedge}(C{\rightarrow}D){\wedge}(A{\vee}C){\Rightarrow}B{\vee}D$

二难推论 (Disjunction elimination)

$(A\to B)\wedge (C\to B)\wedge (A\wedge C)\Rightarrow B$$(A{\rightarrow}B){\wedge}(C{\rightarrow}B){\wedge}(A{\wedge}C){\Rightarrow}B$ $(A\to B)\wedge (C\to B)\wedge (A\vee C)\Rightarrow B$$(A{\rightarrow}B){\wedge}(C{\rightarrow}B){\wedge}(A{\vee}C){\Rightarrow}B$