符号化与命题公式
通常,命题是具有真假意义或能判断真假的陈述句。
(1)您好?
(2)请勿吸烟!
(3)台湾是中国的一部分。
(4)人能活一千岁。
(5)月球上有生物存在。
(1)和(2)一个是疑问句一个是祈使句,都不是陈述句,所以不是命题。
由简单句构成的命题称原子命题。
可以用命题标识符来实现原子命题符号化:
: 人能活一千岁;
: 月球上有生物存在。
由若干原子命题和联结词联结而成的命题称复合命题。
"如果我有一双翅膀,那么我能在蓝天上飞翔。"
包含两个原子命题,是复合命题。
可先对原子命题进行符号化:
: 我有一双翅膀;
: 我能在蓝天上飞翔。
然后再对复合命题进行符号化;
""与""和""类似,都是联结词, 表示"如果,那么."
当为假或为真时,为真。
原子命题和复合命题都是命题公式。
命题公式是表示命题的公式。
常见的形式是带括号的表达式。
:
:
在和中,各命题标识符和联结词顺序都相同。但是,由于使用了不同位置的括号,所表达的语义不同。
采用优先级可以去掉某些括号。以下是通常关于优先级的约定:
1.
2.
3.
4.
5.
其中: 1的优先级最高,5的优先级最低。
联结词中: 表示否定; 表示与/合取;
表示与非; 表示或/析取;
表示或非;
表示左右蕴含;
表示异或。
有了约定的优先级,可对前面的公式进行化简:
:
:
对于, 在没有括号的情况下, 先进行优先级为1的和运算; 然后进行
优先级为4的运算和运算; 最后进行优先级为5的运算。
优先级可以减少括号的使用,但仍需必要的括号。
采用波兰表达式(Polish Notation)或逆波兰表达式的方法可以完全去掉括号。
的波兰表达式:
的逆波兰表达式:
的波兰表达式:
的逆波兰表达式:
命题公式也可以用树表达。树的先序、后序和中序遍历分别对应波兰表达式、逆波兰表达式和带括号的普通形式。
命题公式可以用形式化公式(Well Formed Formulas, )来定义:
1.
2.
3.
4.
其中是原子命题集合,是联结词。
1.和都是公式;
2.和是公式;
3.和是公式;
4.: 是公式。
同理:
5.是公式;
6.是公式;
7.是公式;
8.: 是公式。