集合论相关定理
定义(). 设和是两个集合,
的势小于等于(当且仅当存在一个单射.
的势小于()当且仅当且.
例如:若, , 则. 因为存在一个单射:, , , .
同时,也成立,因为.
此外,、都成立。
定理: 是一个集合,是的幂集,则: .
证明:
首先,因为,所以存在一个的单射,即. 所以.
下面证明对于给定的任意集合,无法找到满射函数.
如果存在一个的子集,它不是中某元素的像,命题便可得证。
通过对角化方法来构造:
就是说,对于所有的中元素,当且仅当.
显然,包含于.
对于所有,集合与不可能是相等,因为由中元素不包含在里的所有元素构成。
考虑, 要么,要么.
前一种情况, 不能等于,因为(假设)并且(的定义).
后一种情况, 也不能等于,因为(假设)并且(的定义).
总之, 不能等于. 而前面包含于, 所以的势比大, 即.
康托定理: .
可以看作前面已证定理的特例。
定理:(Cantor-Bernstein)和都是任意集合,如果:
,,
则有:.
证明: 略。
定理:
证明: 可以定义一个单射,其中,因此.
然后定义函数.
. 当时,令,其中, , , .
是一个单射函数, 所以.
综上,可得.
定理:
证明: 存在一个一一映射:
因此与等势,即.
定理: .
证明: 根据刚才的定理,本定理等同于.
不难发现都有完全不同的十进制展开形式:
,其中.
定义一个函数:
其中,,,是从小往大排的素数。
不难验证,这是一个单射函数,所以.
然后,再定义一个.
对于任意,,这里的下标如果属于,那么取3,否则取5.
不难验证,也是一个单向函数,所以.
综上,可得.
定理: 如果,那么或者是有限集,或者.
简单证明: 若是无限的,列出的元素, , , ,本身就是到的单射。
定义:(Cantor)
(1)自然数集合的势记作(阿列夫).
(2)实数集合的势记作(阿列夫).
定理:
定理:
接下来,将不加证明地列出一些集合论相关的公理或定理。
选择公理(Axiom of Choice):
设是一个以非空集合为元素的集合,那么存在一个函数使得对于每一个. 称是的选择函数。
良序定理(Well-ordering Theorem):
自然数集的每个非空子集都有一个最小元素,即自然数在普通的大小关系下构成一个良序集。
良序定理等价于选择公理,又称策梅洛定理(Zarmelo's Theorem).
佐恩引理(Zorn's Lemma): 和是任意集合,要么,要么.
佐恩引理是良序定理的基础。
连续统假设(Continuum Hypothesis): 如果,那么是可数的,要么.
定理(Gödel, Cohen): 如果关于集合的公理是一致的,不可能通过这些公理来证明或证否连续统假设。