势与可数集
对于一个集合,如果它是由有限个元素组成的,则称为有限集合,简称有限集。
对于一个有限集来说,通常把中不同元素的个数称为的势,用来表示。
若中包含个不同元素,记,也称为元集。
例如:, , 是6元集。
不是有限集合的集合称为无限集合,简称无限集。
设有集合与,如果存在一个从到的双射函数,那么称与等势(Equinumerous), 记作.
求证:(Galileo)自然数集与非负偶数集等势。
证明:
与之间存在一个双射函数:
所以.
求证:自然数集与整数集是等势的。
证明:
将和的元素按下列顺序排列,可以得到一一对应关系:
其中
显然是双射函数,因此.
设是实数集合,是的子集,
且,
试证明.
证明:令
显然,的值域是,且是双射函数,所以.
或令,
,的值域是. 显然是双射函数,所以.
定理:集合族上的等势关系是一个等价关系。
证明:设集合族为,
(1)对于任意,必有,所以.
(2)对于任意,若,即,则必有,所以.
(3)对于任意,若,即且,则必有,即.
求证:自然数集合是无限集合。
证明:设是中的任意元素,
是任意从到的函数。
设
显然,.
但对每一个,有,
因此不是满射的,所以不是双射函数。
因为和都是任意的,故是无限集合。
求证:区间[0,1]与区间(0,1)等势。
证明:设集合,
显然,.
定义,使得:
则是双射函数。
所以,区间[0,1]与区间(0,1)等势。
定义:与自然数集合的子集等势的集合称可数集。可数集可以是有限集。不是可数集的无限集合称不可数集。
例:
都是可数集。
而、[0,1]是不可数集。
定理:为无限可数集合的充要条件是可以排列成:
.
证明:(充分性)如果可以排列成上述形式,那么将的元素与足标对应,就得到与之间一一对应关系,即与等势,故是无限可数集。
(必要性)若是无限可数集,则在与之间存在一一对应关系,由得到的对应元素:
即可写成的形式。
定理:任意无限集必含可数子集。
证明:设为无限集合,
从中取出一个元素.
由于是无限的,不会因为取出而成为空集。
所以,可从中取出元素.
同样也是非空集,
又可从中取出元素.
如此继续下去,就得到的可数子集:
定理:任意无限可数集必与其某一真子集等势。
证明:设为无限可数集,则必含有无限可数子集
设,,
显然.
现构造,使得
这个是双射的,所以.
定理:可数个两两不相交的可数集合的并集,仍然是一可数集。
证明:设可数个可数集分别是
令,
对的元素按以下方式排列:
在上述排列中, 由左上端开始, 其每一斜线上的每一元素的两下标之和都相同, 分别为:, 各斜线上元素的个数分别为:, 故的元素可排列成: 它仍然是一可数集。