集合

把一些事物汇集到一起组成一个整体，称为集合 (Set). 这些事物称为集合的元素 (Element).

若$a$$a$是集合$S$$S$中的元素,记作$a\in S$$a{\in}S$,读作"$a$$a$属于$S$$S$"。

集合具有无序性和互异性:

• 无序性:在一个集合中,每个元素的地位相同,元素之间是无序的。例如：$\{1,2,3,4\}$$\{1,2,3,4\}$ 和 $\{1,3,2,4\}$$\{1,3,2,4\}$是同一个集合。
• 互异性:在一个集合中,任何两个元素都互不相同,即每个元素只能出现一次。例如：$\{1,1,2\}$$\{1,1,2\}$不是集合。

可以存在这样的集合,其元素本身也是一个集合。例如： $X=\{a,3,\{s,2\},\{t\},8\}$$X=\{a, 3, \{s,2\}, \{t\}, 8\}$.

关于一些常见集合表示符的约定:

• $N$$N$:自然数集合 $N=\{0,1,2,3,\cdots \}$$N=\{0,1,2,3,\cdots\}$
• $Z$$Z$:整数集合
• $Z_{+}$$Z_{+}$:正整数集合
• $P$$P$:素数集合 $P=\{2,3,5,7,11,13,\cdots \}$$P=\{2,3,5,7,11,13,\cdots\}$
• $R$$R$:实数集合
• $C$$C$:复数集合
• $Q$$Q$:有理数集合

不含任何元素的集合为空集,记作$\mathrm{\Phi }$$\Phi$.

设$A$$A$和$B$$B$是任意给定的两个集合,如果$A$$A$的每一个元素都是$B$$B$的元素,则称集合$A$$A$是集合$B$$B$的子集,或称集合$A$$A$包含于集合$B$$B$,或集合$B$$B$包含集合$A$$A$. 记作$A\subseteq B$$A\subseteq B$,或$B\supseteq A$$B\supseteq A$.

$A\subseteq B::=\mathrm{\forall }x(x\in A\to x\in B)$$A\subseteq B ::={\forall}x(x\in A \rightarrow x\in B)$

对于任意的非空集合$S$$S$,必然有$\mathrm{\Phi }\subseteq S$$\Phi{\subseteq}S$和$S\subseteq S$$S\subseteq S$。称$\mathrm{\Phi }$$\Phi$和$S$$S$为$S$$S$的平凡子集。

设$A$$A$,$B$$B$是两个集合,如果$A\subseteq B$$A{\subseteq}B$且$A\ne B$$A{\neq} B$,称$A$$A$是$B$$B$的真子集,记为$A\subset B$$A{\subset}B$。 例如：整数集是实数集的真子集$(Z\subset R)$$(Z{\subset}R)$.

对于任意集合$A$$A$、$B$$B$和$C$$C$,有:

• $A\subseteq A$$A\subseteq A$. 即$\subseteq$$\subseteq$具有自反性(Reflexivity).
• 若$A\subseteq B$$A\subseteq B$且$B\subseteq A$$B\subseteq A$,则$A=B$$A=B$. 即 $\subseteq$$\subseteq$具有反对称性(Antisymmetric).
• 若$A\subseteq B$$A\subseteq B$且$B\subseteq C$$B\subseteq C$,则$A\subseteq C$$A\subseteq C$. 即$\subseteq$$\subseteq$具有传递性(Transitivity).

外延公理(Axiom of Extensionality): 如果集合$A$$A$和$B$$B$有完全相同的元素,那么集合$A$$A$和$B$$B$相等,记作$A=B$$A=B$.

给定集合$A$$A$,以$A$$A$的全部子集为元素构成的集合,称为$A$$A$的幂集(Power set),记为$P(A)$$P(A)$或$2^A$$2^A$.

$P(A)=\{x|x\subseteq A\}$$P(A)=\{x|x \subseteq A\}$

例: 如果$A=\{1,2,3\}$$A=\{1,2,3\}$, 那么 $P(A)=\{\mathrm{\Phi },\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$$P(A)=\{\Phi, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\}$

特别的，空集$\mathrm{\Phi }$$\Phi$的幂集是：$P(\mathrm{\Phi })=\{\mathrm{\Phi }\}$$P(\Phi)=\{\Phi\}$.

有这样一个集合,如果讨论范围内的所有集合都是它的子集,称该集合为全集 (Universal Set). 记作$U$$U$.

$B$$B$在$A$$A$中的相对补集或差集是

$A-B=\{x|x\in A\wedge x\notin B\}$$A-B=\{x|x\in A\wedge x\notin B\}$

设$U$$U$是全集,$A$$A$是$U$$U$的子集,$U-A$$U-A$称为集合$A$$A$的绝对补集. 记作$\sim A$$\sim A$或$A^c$$A^c$.

设$A,B$$A,B$是任意给定的两个集合,$A$$A$和$B$$B$的交集$A\cap B$$A\cap B$,并集$A\cup B$$A\cup B$, 以及对称差集$A⨁B$$A\bigoplus B$ 分别定义如下:

• $A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$$A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$
• $A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$$A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$
• $A⨁B=(A-B)\cup (B-A)=\{x|(x\in A\wedge x\notin B)\vee (x\in B\wedge x\notin A\}$$A\bigoplus B=(A-B)\cup (B-A)=\{x|(x\in A\wedge x \notin B)\vee (x\in B\wedge x \notin A\}$

设$A$$A$,$B$$B$是任意的集合,运用下面的规则可以产生集合公式:

• 集合$A$$A$是集合公式。
• 若$A$$A$是集合公式,则$\sim A$$\sim A$也是集合公式。
• 若$A,B$$A,B$是集合公式,则$(A\cup B),(A\cap B),(A-B),(A\oplus B)$$(A\cup B), (A\cap B), (A-B), (A\oplus B)$也都是集合公式。
• 有限次地使用以上规则得到的公式都是集合公式。

例如：$(A\oplus B)\cap (B-C),$$(A\oplus B)\cap (B-C),$是集合公式。

设$A,B,C$$A,B,C$是全集$U$$U$的任意子集，以下是 一些基本集合定律:

幂等律(Idempotent Laws)

• $A\cup A=A,A\cap A=A$$A\cup A=A, \, A\cap A=A$

交换律(Commutative Property)

• $A\cup B=B\cup A$$A\cup B=B\cup A$
• $A\cap B=B\cap A$$A\cap B=B\cap A$
• $A\oplus B=B\oplus A$$A\oplus B=B\oplus A$

结合律(Associative Property)

• $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$$(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$
• $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$$(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$
• $(A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)$$(A\oplus B)\oplus C=A\oplus(B\oplus C)$

分配律(Distributive Property)

• $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$$A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap(A\cup C)$
• $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$$A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C)$
• $A\cap (B-C)=(A\cap B)-(A\cap C)$$A\cap(B-C)=(A\cap B)-(A\cap C)$

同一律(Identity)

• $A\cup \mathrm{\Phi }=A,A\cap U=A$$A\cup\Phi=A, \, A\cap U=A$
• $A-\mathrm{\Phi }=A,A\oplus \mathrm{\Phi }=A$$A-\Phi=A, \, A\oplus\Phi=A$

零律或支配律(Domination Laws)

• $A\cup U=U,A\cap \mathrm{\Phi }=\mathrm{\Phi }$$A\cup U=U, \, A\cap\Phi=\Phi$

互补律(Complement)

• $A\cup \sim A=U$$A\cup\sim A=U$
• $A\cap \sim A=\mathrm{\Phi }$$A\cap\sim A=\Phi$
• $\sim U=\mathrm{\Phi }$$\sim U=\Phi$
• $\sim \mathrm{\Phi }=U$$\sim\Phi=U$

吸收律(Absorption Laws)

• $A\cup (A\cap B)=A$$A\cup(A\cap B)=A$
• $A\cap (A\cup B)=A$$A\cap(A\cup B)=A$

双重否定律(Double Complement)

• $\sim (\sim A)=A$$\sim(\sim A)=A$

德·摩根律(De Morgan's Laws)

• $\sim (A\cup B)=\sim A\cap \sim B$$\sim(A\cup B)=\sim A\cap\sim B$
• $\sim (A\cap B)=\sim A\cup \sim B$$\sim(A\cap B)=\sim A\cup\sim B$
• $A-(B\cup C)=(A-B)\cap (A-C)$$A-(B\cup C)=(A-B)\cap(A-C)$
• $A-(B\cap C)=(A-B)\cup (A-C)$$A-(B\cap C)=(A-B)\cup(A-C)$