集合
把一些事物汇集到一起组成一个整体,称为集合 (Set).
这些事物称为集合的元素 (Element).
若是集合中的元素,记作,读作"属于"。
集合具有无序性和互异性:
- 无序性:在一个集合中,每个元素的地位相同,元素之间是无序的。例如: 和 是同一个集合。
- 互异性:在一个集合中,任何两个元素都互不相同,即每个元素只能出现一次。例如:不是集合。
可以存在这样的集合,其元素本身也是一个集合。例如: .
关于一些常见集合表示符的约定:
- :自然数集合
- :整数集合
- :正整数集合
- :素数集合
- :实数集合
- :复数集合
- :有理数集合
不含任何元素的集合为空集,记作.
设和是任意给定的两个集合,如果的每一个元素都是的元素,则称集合是集合的子集,或称集合包含于集合,或集合包含集合.
记作,或.
对于任意的非空集合,必然有和。称和为的平凡子集。
设,是两个集合,如果且,称是的真子集,记为。
例如:整数集是实数集的真子集.
对于任意集合、和,有:
- . 即具有自反性(Reflexivity).
- 若且,则. 即 具有反对称性(Antisymmetric).
- 若且,则. 即具有传递性(Transitivity).
外延公理(Axiom of Extensionality):
如果集合和有完全相同的元素,那么集合和相等,记作.
给定集合,以的全部子集为元素构成的集合,称为的幂集(Power set),记为或.
例: 如果, 那么
特别的,空集的幂集是:.
有这样一个集合,如果讨论范围内的所有集合都是它的子集,称该集合为全集 (Universal Set). 记作.
在中的相对补集或差集是
设是全集,是的子集,称为集合的绝对补集.
记作或.
设是任意给定的两个集合,和的交集,并集, 以及对称差集 分别定义如下:
设,是任意的集合,运用下面的规则可以产生集合公式:
- 集合是集合公式。
- 若是集合公式,则也是集合公式。
- 若是集合公式,则也都是集合公式。
- 有限次地使用以上规则得到的公式都是集合公式。
例如:是集合公式。
设是全集的任意子集,以下是
一些基本集合定律:
幂等律(Idempotent Laws)
交换律(Commutative Property)
结合律(Associative Property)
-
分配律(Distributive Property)
同一律(Identity)
零律或支配律(Domination Laws)
互补律(Complement)
吸收律(Absorption Laws)
双重否定律(Double Complement)
德·摩根律(De Morgan's Laws)