课程简介
逻辑（Logic）
既是数学的分支，又是哲学的分支。（因为在很多大学两个系都会开逻辑课）
还是计算机分支。（因为推演系统、递归思想等对计算机领域同样非常重要）
交集包括但不限于：语言、语义、推演系统等。
哲学领域的逻辑会偏向于认识论（Epistemology）。
数学和计算机领域的逻辑偏向于符号逻辑和形式语言（Formal Language）。
逻辑的形式（Logic Form）
哲学领域与数学领域的逻辑的重要差别之一：自然语言（Natural Language）与形式语言。
Leibniz认为自然语言表述模糊，应该用形式语言取而代之。
有些科学家认为可以考虑把自然语言改造得更严谨一些。
还有些科学家认为符号逻辑可以补充自然语言的不足，形成互补。
这种分歧的后果包括：同样一个具体的逻辑，既称谓词逻辑（Predicate Logic），又称一阶逻辑。
数理逻辑（Mathematical Logic）
形式化逻辑系统（Formal Logical Systems，又称Classical Logical Systems）。
- 命题逻辑（Propositional Logic）
- 一阶逻辑（First-Order Logic）
- 二阶逻辑（Second-Order Logic）
- 高阶逻辑（Higher-Order Logics）
四个主要子领域:（Jon Barwise的观点）
- 集合论（Set Theory）
- 模型论（Model Theory）
- 递归论（Recursion Theory）
- 证明论（Proof Theory）与构造性数学（Constructive Mathematics）
各自的关注点相对独立，但相互间以及与其它学科间的界限并不是非常分明。
- 比如，这四个领域的成果往往集中反映在一些经典逻辑主题上，如一阶逻辑。
- 又比如：哥德尔（Gödel）的非完备性定理（Incompleteness Theorem）既是递归论的里程碑，也是证明论的里程碑。
发展大事记
古典逻辑在古中国（公孙龙的“白马非马”）、古印度、古希腊和古伊斯兰国家都有记载。
18世纪中期，莱布尼茨（Leibniz）率先提出符号逻辑的想法。
19世纪中叶，布尔（Boole）和德摩根（De Morgan）进一步系统地用数学方法来研究逻辑。
然而从古典逻辑迈向现代逻辑的转折点，被认为是德国哲学家兼数学家弗雷格（Frege）关于形式系统的一本书《Begriffsschrift（概念文字）》。不仅在逻辑中引入数学，弗雷格还提出了用逻辑研究数学基础的思路。在这个方面，罗素（Russell）也做出重要贡献。
算术、几何和数学分析的公理化（Axiomatization），主要工作是皮耶罗（Peano）公理，罗巴切夫斯基（Lobachevsky）的平行公设研究，希尔伯特（Hilbert）的几何公理化。公理化的工作一致持续到20世纪的初期。
19世纪末到20世纪初还有一个重要进展是：康托提出来无限集合论，连续统假设，康托定理等。此外，策梅洛（Zermelo，选择公理的提出者）在集合论方面也做出杰出贡献。
20世纪初在集合论和公理化领域出现大量悖论和不一致性，如罗素悖论和理查德（Richard）悖论。勒文海姆（Löwenheim）和斯科伦（Skolem）提出勒文海姆–斯科伦定理，这个定理的另一种表现是斯科伦悖论。金琛（Gentzen）在解决悖论和研究一致性方面做了重要贡献，但做出关键贡献的还是哥德尔。有趣的是: 斯科伦和哥德尔的工作还形成了模型论的基础，而同时金琛和希尔伯特的工作形成了证明论的基础。
20世纪中科恩（Cohen）提出来Forcing的概念，并证明了连续统假设和选择公理与策梅洛集合论是相互独立的，因此获得菲尔茨奖。
图灵和他的图灵机是递归论的核心。哥德尔的证明用到函数的递归定义，便与图灵机密切相关。同时期的邱奇（Church）、克莱尼（Kleene）和 波斯特（Post）在递归论领域也做出突出贡献。
有一些事件表面无关，但实则与数理逻辑密切相关，如：20世纪三十年代法国创办“布尔巴基（Nicolas Bourbaki）合作者协会”，倡导用最严格的风格重写数学书，一度风靡。
在归纳数理逻辑的发展历程后，我们还会得到一个令人惊讶的结论：数理逻辑是数学的基础，数理逻辑也是计算机的基础。不是吗？